Formas equivalentes de expressões exponenciais

RKA - O que eu quero fazer nesse vídeo aqui, é começar com uma expressão exponencial que é bem direta ao ponto, muito simples de ser escrita, e transformá-la em uma outra expressão mais cabeluda, mais complicada, e explicar porque a gente também gostaria de fazer uma coisa dessas. Então, vamos começar com uma expressão que é a seguinte: 1 32 avos vezes 2 elevado a "t". Então, é uma expressão bem fácil, bem simples de ser entendida. Mas digamos que a gente queira escrever isso daqui da seguinte forma, dessa forma aqui: "A" vezes "B" que está elevado a "t" sobre 10 menos 1. A primeira coisa que vai vir à sua cabeça é o seguinte: por que, né? Por que eu vou escrever uma expressão que está muito fácil, muito simples desse jeito aqui, dessa outra maneira complicada? Pois bem, quando você chegar em matemática mais avançada, estiver estudando física, química, você vai, de repente, ver no seu livro uma expressão que não está dessa forma, e sim dessa aqui. E aí, também quando você faz esse processo todo de transformar uma expressão dessa aqui, em uma expressão dessa que eu escrevi arbitrariamente, da maneira que eu quis, você acaba descobrindo coisas que estão intrinsecamente ligadas aqui nessa expressão, o que ela realmente está querendo descrever. Então vamos parar de fazer rodeios, e vamos partir para a nossa transformação das expressões. Para isso, eu vou usar as propriedades da potenciação, vamos lá! Você pode também se quiser passar o vídeo tentar fazer. Vamos fazer juntos aqui agora então, vamos lá. Para começar, o que eu quero fazer então, é colocar um denominador 10 nesse "t" aqui. E para fazer isso eu preciso essencialmente multiplicar esse "t" por 10, e ao mesmo tempo dividir por 10. Porque quando multiplico por 10 e divido por 10, eu não altero o resultado de nada. E portanto, eu posso reescrever isso daqui como sendo 1 sobre 32 multiplicado por 2 elevado a "t" vezes 10 sobre 10, eu vou escrever isso aqui da seguinte maneira, vou até trocar a cor para ficar mais simples de você entender. Então vai ser "t" sobre 10, vou botar aqui, "t" sobre 10 vezes aquele 10 ali. Vai ficar em verde aqui, vezes 10. E dessa forma eu consegui aquele "t" sobre 10. Mas, aqui na frente, eu tenho um vezes 10 ali, né? E agora? Como eu lido com isso daqui? Na verdade eu vou escrever isso daqui da outra maneira, vou escrever isso daqui assim. Repara só, vou colocar 10 vezes o "t" sobre 10. 10 vezes t/10 aqui assim, certo? E aí, quando você tem uma expressão nessa forma aqui, uma das propriedades da potenciação vem direto à sua cabeça. Olha só, se eu tiver "a" elevado a "b", que está elevado a "c", isso é a mesma coisa que "a" elevado a "b" vezes "c", e se isso daqui é igual a isso, logo, eu posso dizer também que "a" elevado a "b" vezes "c" é igual a "a" elevado a "b", elevado a "c". E aí, eu posso reescrever aquela expressão, essa parte da expressão aqui, da seguinte maneira: posso pegar o 2 que vai estar elevado a 10, e elevar tudo isso daqui a t/10. Posso ou não posso fazer isso? Então só mais uma vez, 2 elevado a 10, que está elevado ainda a t/10, é a mesma coisa que 2 elevado a 10 vezes t/10. Mesmíssima coisa. E claro, não podemos esquecer daquele 1/32 ali, né? Está aqui ainda. E quando eu vejo esse número aqui, eu fico tentado a escrever 2 elevado a -5, mas não vou fazer nada ainda, vamos lá. E agora? Quanto que dá 2 elevado a 10? Na verdade, eu vou deixar esse jeito aqui só para simplificar, mas, mais tarde, você vai saber que isso aqui vai dar 1.024. Mas vamos lá, vamos continuar aqui. Na verdade, eu vou escrever isso daqui como 1.024 mesmo. Vamos lá. 1/32 vezes, ali vai dar 1.024. 1.024 elevado a t/10. Então você já percebe que a gente já está quase terminando, a gente só falta ter o -1 ali, né? Como é que a gente vai lidar com esse -1 aqui? Vamos ver. Bem, posso usar uma estratégia similar ao que eu fiz aqui. Eu posso fazer o que? Eu posso subtrair 1 e somar 1. Quando eu tiro 1 e coloco 1, eu não altero o valor de nada. É a mesma coisa que multiplicar por 10, e dividir por 10, não altera o valor. Então, se eu subtrair 1, e somar 1 ao mesmo tempo, não altera o valor de nada. E aí, o que nós queremos aqui é o seguinte: nós queremos permanecer com esse -1, aqui, que faz parte da fórmula, mas nós queremos nos livrar desse +1. E aí, você vai se lembrar da seguinte propriedade: se nós tivermos "a" elevado a "b", que multiplica "a" elevado a "c", isso é a mesma coisa que somar os expoentes. Permanece a base "a" ali, e eu somo "b" + "c". E novamente, como isso aqui é uma igualdade, eu posso dizer também que a elevado a "b" + "c", é a mesma coisa que "a" elevado a "b" vezes "a" elevado a "c". Então olha só, isso daqui é a mesma coisa que 1.024 elevado a 10 - 1 + 1. Então, podemos reescrever da seguinte maneira: ora, 1.024 elevado a t/10 - 1 que vai multiplicar... como é que eu vou chegar a esse +1 aqui? Basta que eu multiplique por 1.024 de novo. Vou até fazer de uma outra cor aqui para ficar fácil a visualização, vou fazer de verde, esse verde aqui é o 1. Então vou multiplicar por 1.024 elevado a 1. E claro, não posso me esquecer do 1/32 vezes isso aqui tudo. E portanto, eu posso dizer isso aqui é igual, eu posso simplificar, só que primeiro eu vou trazer esse 1.024 lá pra frente, então eu vou ter aqui 1.024 sobre 32, então, dividido por 32 aqui, vezes essa parte aqui da expressão. Então vezes 1.024 elevado a t/10 - 1. Estamos chegando lá. E aqui, agora nós podemos fazer simplificações. Porque você sabe que 1.024 é 2 elevado a 10, nós vimos isso aqui, e 32 é a mesma coisa que 2 elevado a 5. Então, 2 elevado a 10 dividido por 2 elevado a 5, vai dar 2 elevado a 5, que é uma outra propriedade dos expoentes. Se você tiver aqui "a" elevado a "b" dividido por "a" elevado a "c", isso é a mesma coisa que conservar a base, que é "a", e subtrair os expoentes, ou seja, "b" menos "c". E então, eu posso reescrever essa parte aqui, está em laranja, como sendo igual a 32, certo? Que vai dar aqui, 2 elevado a 5, e 2 elevado a 5 é a mesma coisa que 32, vezes aquela parte final ali 1.024, a gente já está chegando aqui, estamos no ponto final da nossa expressão. Então 32 vezes 1.024 elevado a t/10 - 1. E aí nós finalizamos com o nosso intuito, o nosso intuito era transformar isso aqui nisso aqui. E aí, você vai falar assim: não, mas normalmente na nossa vida a gente quer simplificar as coisas, não complicar. O que inclusive é uma excelente filosofia de vida, simplificar as coisas. Mas é importante que você saiba fazer essas operações todas aqui, transformar de uma expressão simples para uma mais complicada, porque você acaba treinando as propriedades, e se torna fera em fazer essas transformações e, de repente, vai que alguém quer um resultado dessa forma aqui, em vez daquela forma mais simplificada. Então você tem que saber transitar por isso aqui, e aí, conseguir representar a mesma expressão exponencial de uma outra maneira. Até o próximo vídeo!