Demonstração de triângulos retângulos especiais (parte 1)

RKA - O que quero fazer neste vídeo é discutir uma classe especial de triângulos chamada triângulos 30-60-90. Acho que sabe por que eles são chamados assim: as medidas desses ângulos são 30°, 60° e 90°. E o que vamos provar neste vídeo, e isso tende a ter um resultado muito útil, pelo menos para muito do que vê numa sala de geometria, e, então, depois numa aula de trigonometria, é a razão entre os lados de um triângulo 30-60-90: que se a hipotenusa tem comprimento "x", porque lembre-se que a hipotenusa é o lado oposto aos 90°, se a hipotenusa tem comprimento "x", o que vamos provar é que o lado mais curto, que é o oposto ao ângulo de 30°, tem comprimento x/2, e que o lado oposto ao ângulo de 60°, diria que será a √3 vezes o lado menor, de modo que a √3 vezes x/2 será seu comprimento. Isso é o que vamos provar neste vídeo. Em outros vídeos, vamos aplicar, vamos mostrar que isso, na verdade, é um resultado útil. Vamos começar com um triângulo com o qual estamos familiarizados, o chamado triângulo equilátero. Mas, vamos desenhar e desenhar triângulos é sempre a parte difícil. Essa é a minha melhor tentativa de um triângulo equilátero e vamos chamar isso de ABC. Vou apenas assumir que construí um triângulo equilátero. O triângulo ABC é equilátero. E se é equilátero, isso significa que todos os seus lados são iguais e vamos dizer que é um equilátero com lados de comprimento "x". Isso vai ser "x", vai ser "x" e isso vai ser "x". Também sabemos, baseado no que já vimos sobre triângulos equiláteros antes, que a medida de todos esses ângulos internos vai ser de 60°. Então, isso será 60°, isso será 60° e isso será 60°. Agora o que vou fazer é desenhar uma altura desse ponto mais alto bem aqui. Vou desenhar uma altura baixando aqui e, por definição, quando estou construindo uma altura, vai chegar à base aqui formando um ângulo reto. Então, isso vai ser um ângulo reto e, depois, isso vai ser um ângulo reto. É uma prova muito fácil de demonstrar, que não é apenas uma altura, que é a perpendicular à sua base, mas é uma prova bem fácil de mostrar que secciona a base, e você pode parar se quiser e provar você mesmo. Mas, realmente vem do fato de que é fácil provar que esses dois triângulos são congruentes. Então, deixe-me provar para você. Vamos chamar esse ponto "D" aqui. Os triângulos ABD e BDC podem, claramente, compartilhar esse lado. Esse lado é comum aos dois bem aqui. E esse ângulo é congruente a esse ângulo aqui. Esse ângulo é congruente a esse ângulo aqui. E esses dois são congruentes entre si, o terceiro ângulo tem que ser congruente com os outros, então esse ângulo aqui precisa ser congruente àquele ângulo bem ali. Então, esses dois são congruentes e você pode usar uma variedade dos nossos postulados de congruência. Poderíamos dizer congruentes por LAL, Lado-Ângulo-Lado. Poderíamos usar ALA, Ângulo-Lado-Ângulo. Dá para usar qualquer um deles para mostrar que o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. E o que isso faz para nós? A gente pode usar, como disse, ALA ou LAL, que gostamos de usar para isso. O que isso nos faz é que os lados correspondentes desses triângulos serão iguais. Em particular, o comprimento AD vai ser igual a CD. Esses são lados correspondentes, esses vão ser congruentes entre si. E, se a gente sabe que são congruentes entre si, isso somado a isso resultará em "x". Lembre-se que isso era um triângulo equilátero de lado "x". Sabemos que esse lado bem aqui vai ser x/2. sabemos que vai ser x/2. Não apenas sabemos isso, mas também soubemos quando baixamos essa altura, mostramos que esse ângulo tem que ser congruente àquele ângulo e suas medidas têm que somar um total de 60. Então, essas duas coisas são iguais, elas somam 60. Isso vai ser 30° e isso 30°. Já mostramos uma das partes interessantes dos triângulos 30-60-90, que é a hipotenusa. Eu acho que não apontei isso desenhando essa altura. Essencialmente, dividi esse triângulo equilátero em dois triângulos de 30-60-90. E já mostramos que, se o lado oposto ao lado dos 90° é "x", que o lado oposto ao ângulo de 30° vai ser x/2. Isso é o que mostramos bem aqui. Agora, só temos que conseguir com um terceiro lado, o lado oposto ao lado dos 60°. O lado oposto ao ângulo de 60° aqui, vamos chamar isso de comprimento. Bom, só vou usar as letras que já temos, isto é, BD. Podemos só aplicar o Teorema de Pitágoras: (BD)² mais esse comprimento aqui ao quadrado, mais (x/2)² será igual à hipotenusa ao quadrado. Temos BD, (BD)² mais (x/2)², isso é exatamente o Teorema de Pitágoras, mais (x/2)² vai ser a hipotenusa ao quadrado. Vai ser igual a x². E, só para ficar claro, estou vendo esse triângulo bem aqui, o triângulo CBD. Estou me preocupando com esse triângulo à direita, estou somente aplicando o Teorema de Pitágoras: esse lado ao quadrado mais esse ao quadrado é igual à hipotenusa ao quadrado. Vamos resolver agora: BD, você tem BD² mais x²/4, x²/4 é igual a x², é igual a x². Você veria isso como: 4x² sobre 4, que é o mesmo, obviamente, que x². Então, se subtrairmos um, se subtrai x²/4 dos dois lados, têm BD² igual a 4x²/4 menos x²/4 será igual a 3x²/4. Então, vai ser 3x²/4, tirando a raiz quadrada dos dois lados, você tem BD igual a raiz quadrada de 3 vezes x², é igual a √3 vezes x/√4, que é 2. E BD é o lado oposto ao ângulo de 60°, então acabamos! Se essa hipotenusa é "x", o lado oposto ao ângulo de 30° será x/2 e o lado oposto ao ângulo de 60° será a √3 vezes x/2, dependendo de como você quer ver isso.