Área de um hexágono regular

RKA - Nos deram um hexágono regular com A, B, C, D, E e F. E este hexágono regular, obviamente, nos diz que estamos lidando com seis lados, você simplesmente poderia contar, não precisou que te contassem que é um hexágono, mas a parte regular nos leva a conhecer todos os lados. Os seis lados têm o mesmo comprimento e todos os ângulos internos têm a mesma medida. Então, nos dão o comprimento de um dos lados, desde que seja um hexágono regular, na realidade, estão nos dando o comprimento de todos os lados: dizem que é 2√3. Então, este lado aqui é 2√3, este é 2√3, e eu poderia ir ao redor do hexágono e ver que todos os seus lados têm 2√3. Querem que a gente encontre a área deste hexágono, encontrar a área de ABCDEF. A melhor forma de encontrar a área, principalmente de polígonos regulares, é tentar dividir em triângulos. Hexágonos são um caso especial. Talvez, em outros vídeos, a gente fale sobre casos mais comuns de qualquer polígono. Com o hexágono, o que pensaria se nós pegássemos este ponto aqui e chamássemos de ponto "G"? Agora, a gente diz que é o centro do hexágono, e quando falo sobre o centro, estou pensando sobre um ponto e ele não pode ser equidistante de tudo isso porque isto não é um círculo, mas poderíamos dizer que é equidistante de todos os vértices. Então, GD é a mesma coisa que GC, que é a mesma coisa que GB, que é o mesmo que GA, o mesmo que GF e o mesmo que GE. Então, vou desenhar alguns daqueles que acabei de falar: este é GE, este é GD e este é GC. Todos estes segmentos de reta vão ser iguais. Tem um ponto "G" que podemos chamar de centro, o centro deste polígono. Sabemos que este comprimento é igual àquele comprimento, que é igual àquele comprimento, e assim por diante. Também sabemos que se somarmos, se a gente for circulando ao redor do centro, se a gente for desta forma, teremos 360°. E sabemos que estes triângulos serão todos congruentes entre si e tem múltiplas formas de mostrarmos isso, mas a mais fácil é ver que eles têm dois lados. Todos têm este lado e este lado congruente entre eles porque "G" está no centro, e todos eles têm este terceiro lado em comum, de 2√3. Como todos eles estão Lado Lado Lado, eles todos são congruentes. Isso nos mostra que, se são congruentes, então este ângulo, este ângulo interior bem aqui, vai ser o mesmo para todos os seis. Todos estes seis triângulos aqui. E, talvez, a gente passe a chamá-los de "x". Este é o ângulo "x", esse é "x", esse é"x". E se somar todos eles, vamos dar a volta no círculo, teremos os 360° e temos seis destes "x". Você tem 6x é igual a 360°, divide cada lado por 6, tem "x" igual a 60°. "x" é igual a 60°, todos estes são iguais a 60°. Agora, uma coisa interessante: sabemos que estes triângulos, por exemplo o triângulo GBC, e podemos fazer a mesma coisa com seis triângulos, mas sabemos, com certeza, que são triângulos isósceles, que esta distância é igual à esta distância. Então, podemos usar essa informação para calcular quais são os outros ângulos, por causa destes dois ângulos da base, é um triângulo isósceles, os dois lados são congruentes. Então, os dois ângulos na base também são congruentes entre si. Este ângulo vai ser congruente com aquele ângulo e poderíamos chamar de "y" bem aqui. Você tem "y" mais "y", que é 2y, mais 60° graus, que será igual a 180 por causa dos ângulos internos de qualquer triângulo que somam 180. Então, subtraia 60 de cada lado, você tem 2y igual a 120, divida cada lado por 2, tem "y" igual a 60°. Isso é interessante, eu poderia ter feito isso com qualquer um destes triângulos. Todos eles têm ângulos internos de 60°. O que provamos, anteriormente, quando começamos a estudar triângulos equiláteros é que a gente sabe que todos estes ângulos de um triângulo têm 60° e estamos lidando com um triângulo equilátero, o que significa que todos os lados têm o mesmo comprimento. Então, isto é 2√3, de modo que isto também é 2√3 e isto também é. Assim, como todos estes segmentos verdes medem 2√3 e já sabíamos, porque é um hexágono regular que, a cada lado do hexágono, também é 2√3. Então, agora, podemos usar essa informação para calcular. Na realidade, não temos que calcular esta parte. Vou mostrar em um segundo. Para calcular a área de qualquer um destes triângulos, a gente pode apenas multiplicar por 6. Vamos focar neste triângulo aqui. Pense em como podemos calcular sua área; sabemos que o comprimento de DC é 2√3; podemos desenhar uma altura bem aqui, uma altura assim, e assim, nós, se desenhamos uma altura, a gente sabe que é um triângulo equilátero e podemos mostrar facilmente que estes dois triângulos são simétricos. Os dois têm ângulos de 90°. Já sabemos que estes dois têm 60° e, assim, se você olhar para cada um destes dois triângulos independentes, só precisa dizer que, se somados, eles têm 180°, então este deve ser 30°. Todos os ângulos são iguais, também compartilham um lado entre si. Assim, estes dois são triângulos congruentes. Se quisermos calcular esta área mais ampla, desta pequena parte bem aqui, a gente pode apenas calcular a área da metade de um dos triângulos equiláteros e, então, multiplique por 2 ou podemos encontrar a área e multiplicar por 12 para calcular o hexágono inteiro. Então, como calcular a área disso? Isso vai ser a metade do comprimento na base, este comprimento aqui, que vou chamar de "H"; DH vai ser a √3. E temos, ou felizmente já reconhecemos, este é um triângulo 30, 60, 90.. Vou desenhar bem aqui, é um triângulo 30, 60, 90. Sabemos que este comprimento é √3, a gente sabe e, na verdade, já calculamos que isto é 2√3. Ou, não precisamos na verdade. O que a gente precisa calcular é o comprimento da altura. E de triângulos de 30, 60, 90 sabemos que o lado oposto ao de 60° é √3. É uma √3 vezes o lado oposto ao de 30°, então isso vai ser a √3 vezes √3. √3 vezes √3. √3 vezes √3 é, obviamente, igual a √9, que é igual a 3. Então, à essa altura vai ser simplesmente 3. Se a gente quer a área deste triângulo aqui, qual é a área deste triângulo? É, simplesmente, a metade da base vezes a altura; a área deste triângulo é 1/2 vezes a base, esta base aqui. Na verdade, vamos voltar um pouco, não precisamos nos preocupar com isso, vamos apenas direto ao triângulo maior GDC. Então, eu vou retomar um pouco, porque agora temos a base e a altura disso tudo. Se prestarmos atenção ao triângulo da área GDC agora eu estou olhando para este triângulo inteiro aqui. Isso é igual à metade vezes a altura da base, que é igual a uma metade. Qual é a nossa base? Nossa base a gente já conhece, é um dos lados do nosso hexágono: é 2√3. Então, é isso tudo aqui, vezes 2√3. Queremos multiplicar isso pela nossa altura e é isso que calculamos usando triângulos 30, 60, 90. A nossa altura é 3, então, vezes 3. 1/2 e o 2 se anulam, temos 3√3. Esta é a área de um destes pequenos pedaços aqui. Se quisermos descobrir a área do hexágono inteiro, a gente só tem que multiplicar por 6, porque tem seis destes triângulos aqui. Então, isso será igual a 6 vezes 3√3, que é 18√3. Acabou!