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Como verificar se funções são inversas por meio da composição

Transcrição de vídeo

RKA - Digamos que temos a função "f" definida por "f(x)" igual a "x" + 7 elevado ao cubo, menos 1. Vamos assumir também, que temos aqui outra função "g" definida por "g(x)" igual a raiz cúbica de (x + 1) menos 7. E o que eu quero agora é obter "f" de "g(x)", e também pretendo obter "g" de "f(x)". Mais uma vez sugiro que você pause o vídeo, pense bem e tente obter isto tudo sozinho. Bem, vamos começar a obter "f" de "g(x)". A ideia é que, se "f(x)" é definida como (x + 7)³ menos 1, "f" de "g(x)", quer dizer que no lugar do "x", que seria a entrada à qual estamos aplicando a função "f", vai ser substituído por toda aquela expressão do "g(x)". E isso significa que o "f" do "g(x)" vai ser igual, ali no "f(x)" onde eu tenho "x", vou substituir pela raiz cúbica de (x + 1) menos 7, que é o "g(x)". Ficando então, com raiz cúbica de (x +1) menos 7, que é o "g(x)", + 7 que já tinha na definição do "f", tudo elevado ao cubo, menos 1. Então, mais uma vez eu peguei a definição da função "f" e, onde havia "x", eu troquei por aquilo que eu estou colocando no lugar de "x", que é toda a expressão do "g(x)". Naturalmente, vamos simplificar isso tudo aqui: menos 7 + 7 vai cancelar. Então, até agora ficamos com a raiz cúbica de (x + 1), tudo elevado ao cubo, e ainda menos 1. Agora, evidentemente, esta raiz cúbica de (x + 1), quando elevada ao cubo, vai ser cancelada, e eu fico simplesmente com o (x + 1). E ainda temos o menos 1. Simplificando isto tudo, temos simplesmente "x", ou seja, "f" do "g(x)" é igual a simplesmente "x". Vamos agora verificar o que conseguimos com "g" de "f(x)". O "g(x)" é raiz cúbica de (x + 1), tudo menos 7. Agora "g" de "f(x)" significa que eu vou copiar a expressão do "g(x)", entretanto, substituir o "x" pela expressão do "f(x)". Vou fazer vagarosamente aqui, para que você compreenda bem: "g" de "f(x)" então, igual a raiz cúbica de "f(x)" que é o que vai no lugar do "x", a entrada é o "f(x)" mais 1, menos 7. Teremos então a raiz cúbica de, o "f(x)" é tudo aquilo, (x + 7) elevado ao cubo, menos 1. E temos ainda, o + 1 da expressão que define o "g", e ainda o -7. Bem, aqui temos sorte, o menos 1 e o + 1 vão cancelar, e o (x + 7) que sobrou elevado ao cubo aqui na raiz, vai cancelar com a raiz e temos somente (x + 7) neste pedaço. Então, toda esta parte simplifica para (x + 7), e ainda temos o menos 7 da expressão do "g". E agora, cancelando o + 7 e o menos 7, ficamos, simplesmente, com "x", o "g" de "f(x)" é simplesmente igual a "x". E temos agora, evidentemente, algo muito interessante: o "f" do "g(x)" é igual a "x", e o "g" do "f(x)" também é igual à "x". O que estamos fazendo então aqui, é colocar o "x" como entrada na função "g", obtendo "g(x)", e a esse resultado que é o "g(x)" aplicar a função "f". E vamos obter "f" de "g(x)", que já vimos que é igual a "x". Ou seja, partimos do "x" como entrada, e depois de tudo isso, obtivemos o próprio "x" como resultado. E a mesma coisa está acontecendo aqui no "g" do "f(x)". Ou seja, se colocamos "x" como entrada na função "f", eu vou conseguir uma saída que é o "f(x)". Ou seja, o "f" aplicado a "x", agora o "f(x)" vai ser entrada na função "g", vamos aplicar a função "g" ao "f(x)", e o "g" aplicado ao "f(x)" nos dá novamente "x", ou seja, eu fiz a ida e a volta. Temos aqui duas composições de funções, portanto, duas funções compostas, mas vamos olhar para isto de mais uma maneira: colocando um diagrama aqui para representar, neste primeiro círculo eu vou ter todas as possíveis entradas para uma das funções, que seria justamente o domínio, e no segundo círculo, todos os possíveis resultados ou todas as possíveis saídas, que seria justamente o conjunto imagem. Vou representar primeiro esta nossa primeira situação, eu tinha uma certa entrada "x" à qual eu apliquei a função "g". E o que eu vou obter lá no outro conjunto, é o "g(x)". E se eu aplicar a função "f" a este resultado, ao "g(x)", eu volto para o "x" que eu tinha originalmente no domínio. E isso é o "f" de "g(x)", e vice-versa. Se você começa com "x" e aplica o "f(x)" antes, ou seja, eu tenho "x" aqui vou aplicar a função "f" e vou obter a saída "f(x)". E agora, se eu aplicar a função "g" a esta saída, ou seja, o "g" aplicado ao "f(x)", eu vou voltar a obter o valor original "x". Então, aqui temos "g" de "f(x)", a função "g" aplicada ao "f(x)". Das duas formas, ou seja, partindo de "x", aplicando primeiro a função "f" e depois a "g", ou partindo de "x" aplicando primeiro a função "g" e depois a função "f", eu volto para o "x", isso significa que as funções "f" e "g", neste exemplo, são inversas uma da outra. E nós podemos escrever aqui: "f(x)" é igual a inversa do "g(x)", indicamos por "g" elevada a menos 1 de "x", a inversa do "g(x)". E vice-versa, ou seja, "g(x)" é igual à inversa da função "f", ou seja, "f" a menos 1 de "x". É isso aí. Até o próximo vídeo.