Número de raízes reais possíveis de um polinômio

RKA - Então, agora a gente tem um polinômio, neste vídeo a gente vai ter um polinômio aqui, que claramente é de grau 7, então vou marcar aqui já claramente é de grau 7. E a gente quer saber o número possível de raízes reais ou complexas, ou o número possível de raízes. Então, por ele ser grau 7, a gente já sabe que ele vai ter sempre, no máximo sete raízes. Então, 7 raízes. Só que a gente também quer saber, agora, a questão se trata de saber quantas vão ser, por exemplo, quais são os números possíveis de raízes, por exemplo, reais, imaginárias e assim vai. Então, 7 raízes. Vamos começar com o número 7. 7 raízes reais é um número possível? É. É um número possível, porque se o polinômio for de grau 7, ele pode ter "n" raízes, no caso, 7. Então, ele pode ter 7 raízes reais. Mas e 6? 6 é um número possível de raízes para isso? Não, porque se ele tiver 6 raízes reais, isso implica que ele vai ter uma raiz imaginária ou uma raiz complexa, e as raízes complexas sempre vêm em pares. Se vocês lembrarem dos últimos vídeos que eu falei do teorema fundamental da álgebra, uma das coisas que a gente pode inferir dele é que as raízes complexas sempre vão vir em pares. Então, a gente já sabe que 6 não é um número possível, mas eu vou fazer uma tabela aqui para ficar um pouco mais fácil e vocês vão perceber onde eu quero chegar. Então, aqui eu vou botar de um lado as raízes reais e do outro lado eu vou botar, deixa eu fazer aqui, e do outro lado eu vou botar as raízes imaginárias. Imaginárias. Raízes imaginárias ou complexas. Então, vamos começar com um número que a gente já sabe. 7 raízes reais e zero imaginárias. Isso é possível. Como a gente já falou, não tem nenhum problema nisso. E que tal 6 raízes reais e 1 raiz imaginária? Isso é impossível porque as raízes imaginárias, raízes complexas, sempre vêm em pares conjugados. Então, isso daqui a gente já pode cortar. E que tal 5 raízes reais e 2 raízes imaginárias? Bem, isso é possível. Então, talvez você já deve ter percebido um padrão aqui. Aqui, nesse lado, sempre posso ter números ímpares, sempre vai dar certo com números ímpares, mas não com os números pares. Como uma prova disso, vou pegar aqui um número par nesse lado aqui, vou botar, por exemplo, 4 para seguir a sequência e aqui eu vou colocar 3. Aqui, isso não vai dar certo porque eu não posso ter raízes imaginárias ou complexas e números ímpares, elas sempre têm que estar em pares, os chamados pares conjugados, então já posso cortar isso daqui. Aí eu posso fazer a mesma coisa com o 3 e o 2, o 3 e o 5... o 3 e o 4, desculpem. E aqui vai dar certo, perfeitamente possível um número par aqui e um número ímpar aqui. Aí eu posso, por exemplo, pegar 2 e 5 o que não vai dar certo, porque desse lado nós vamos ter, eu fiz errado aqui, desse lado nós vamos ter um número ímpar de raízes imaginárias, deixa eu por mais para baixo agora. Eu vou continuar a linha aqui. Eu posso pegar o 1 e posso pegar também o 6. Vai dar certo. E eu posso pegar zero raízes reais e 7 imaginárias, só que esse daqui não vai dar certo pelo mesmo motivo que a gente comentou em todas as outras. Então, para responder à pergunta, o número de raízes que, quer dizer, as raízes reais que esse polinômio aqui de cima pode ter são 7, 5, 3, 1 e só. São quatro raízes.