Expansão de binômios e análise combinatória

RKA - Então, a ideia desse vídeo é tentar mostrar para vocês (fazer ficar um pouco mais intuitivo), o porquê de a gente ter análise combinatória no meio de uma expansão binomial, que parecem ser coisas totalmente, assim, diversas e diferentes no mundo da matemática. Então, para fazer isso nós vamos começar... já botamos quatro termos dessa divisão, dessa expansão polinomial aqui (que vocês já sabem se vocês assistiram aos últimos vídeos), que vai ser "xy" (ou melhor, deixa eu fazer de outra cor aqui, deixa eu fazer o "y" na cor azul para ficar mais fácil de distinguir), aqui "xy", aqui também "xy" (melhor fazer outra cor, "xy"), e aqui também "xy". Aí, a gente já sabe que vai ter uma parte de análise combinatória aqui mais essa parte de análise combinatória, mais essa parte de análise combinatória também, mais essa parte aqui de análise combinatória. Então, agora vamos pensar o seguinte: a gente já sabe que o coeficiente aqui é 3, então, a gente já pode colocar aqui em todos eles como sendo 3, porque, se vocês lembrarem da fórmula da expansão binomial, vocês lembram que vai ser sempre "n, k a k" a análise combinatória. Então, esse "n" vai ser fixo, o único valor que vai mudar é esse "k" embaixo. Então, a gente já sabe o coeficiente aqui 3; a gente já pode botar em todos esses termos. Então, agora vamos começar pensando. No primeiro termo, eu quero pegar só os termos "x", eu quero pegar só esses "x" aqui e 3 vezes eu quero fazer isso. De quantas maneiras eu posso fazer isso? Então, só existe uma maneira com que eu possa fazer isso, que seria pegando um "x" daqui, um "x" daqui e um "x" daqui. Eu não poderia, por exemplo, pegar esse "x", esse "x", e aqui pegar um "y"; isso já não daria certo. Então aqui eu vou ter três "y"... três "x", desculpa, e zero "y" e o resultado desse coeficiente aqui vai ter que ser 1, porque só pode ter uma maneira de pegar esses três "x" aqui. Então, se eu for botar aqui o valor, eu vou botar aqui zero. E, daí, vocês perguntam: mas se eu só possuo uma maneira de pegar esses 3 termos iguais então, por que que eu botei zero e não 1? Bem, é que se vocês assistiram aos últimos vídeos de análise combinatória, vocês vão saber que o resultado disso daqui vai ser "3!" dividido por "0!" "(3 - 0!)", o que é 3!", e isso daqui, o resultado é 1, que é justamente o coeficiente que a gente quer botar aqui na frente. Então ok, fomos para o primeiro termo. Agora, no segundo termo, a gente quer pegar dois "x" e escolher um "y" só. A gente quer... vamos supor que a gente tem 3 amigos aqui e a gente quer escolher um amigo só, de quantas maneiras diferentes dá para fazer isso? Então, a gente pode pegar esse esse "x" aqui, esse "x" daqui e esse "y", ou pode pegar esse "x", esse "x" e esse "y", ou ainda pode pegar esse "x", esse "x" e esse "y" no meio, ou seja, existem três maneiras diferentes de fazer essa escolha. Então, eu já posso colocar aqui meu coeficiente 2, porque eu vou ter dois "x", eu vou escolher dois "x" e um "y" então, dois "x" e o coeficiente 1, que vai ser o número de "y" que eu vou ter, ou seja, um "y". E de quantas maneiras deu para fazer isso? Três maneiras. E como vai ser a notação disso? Vai ser 3... análise combinatória de "3, 1 a 1". Então, eu vou ter 3 total e vou querer um "y", e isso daqui vai dar "3!" dividido por "3!"... (3 menos 1)... "2!". E, agora, a gente pode continuar aqui. Aqui, eu vou querer agora dois "y", ao invés de um "y"; então, eu já posso colocar aqui um "x" e dois "y". É interessante notar que aqui o resultado, a soma desses coeficientes, vai ser sempre a soma desse coeficiente total aqui. Então, pode ver: aqui dá 3; aqui 2 mais 1 dá 3; aqui, 1 mais 2 dá 3; e, sempre que eu aumento um dos coeficientes, o outro diminui. Então, aqui a gente já pode colocar, por exemplo, "x" zero e "y" três. Eu gosto de imaginar isso daqui como... sempre, como uma ordem, em que eu vou diminuindo "x" e aumentando "y". Então, aqui eu tinha 3, aqui eu tenho 2, aqui eu tenho 1, aqui eu tenho zero. Se a gente for ver no "y", vai fazer um caminho inverso aqui tem zero, aqui vai para 1, aqui vai para 2 e aqui vai para 3. Então, aqui o coeficiente vai ser 2, ou seja, "3, 2 a 2", eu tenho "3!" dividido por "2! 1!" para escolher essa maneira aqui... vai ser o resultado disso daqui... vai dar "3!/2! 1!" (meu 1 e meu sinal de exclamação são bem parecidos), E, aqui, eu vou ter "3, 3 a 3", que já vai dar resultado: "3!/3! 0!", que é o mesmo do começo. Então, agora, se a gente for calcular isso daqui, a gente vai saber que aqui vai ter uma maneira de fazer isso, três maneiras de fazer isso, três maneiras de fazer isso, e uma maneira de fazer isso. Então, se a gente for ver, os coeficientes são os mesmos do Triângulo de Pascal: "1:3:3:1". E espero que isso tenha ajudado. Até o próximo vídeo.