Como encontrar os zeros dos polinômios (2 de 2)

RKA2G - No vídeo anterior, fizemos a seguinte pergunta: por que não subtraímos estas duas parcelas? Explicamos, na ocasião, que foi para colocar em evidência x² + 9. E, com isso, fatorando o polinômio de tal forma que o polinômio de quinto grau fica fácil de resolver, ou pelo menos mais tranquilo para você encontrar as raízes. Neste vídeo, vamos fazer a soma e resolver de outra forma. Portanto, vamos fazer: P(x) = x⁵ e vamos somar: 9x³ - 2x³ fica mais 7x³, menos 18x, igual a zero. Nós queremos colocar em evidência, queremos colocar em fatores para que não necessitemos resolver uma equação de quinto grau. Então, o que nós podemos fazer? A primeira coisa que temos que fazer é colocar o "x" em evidência. Ou seja, este "x" em evidência nós temos que colocar, pois é uma raiz. Todas parcelas estão sendo multiplicadas por "x", portanto, x = 0. Este polinômio dá zero, ou seja, "x" é a solução desta equação. Temos: (x⁴ + 7x² - 18) = 0. Ou seja, para que este polinômio chegue a ser zero, ou este lado é zero ou este lado é igual a zero. Nós identificamos aqui uma equação biquadrada. Então, vamos lembrar um pouco de produto notável. Se você tem (x + a) vezes (x + b), isso fica igual a x² + (a + b)x + ab. Você pode estar um pouco intrigado porque nós aqui temos x², e não x⁴. mas, como se trata de uma equação biquadrada (porque eu quero que este termo seja igual a zero), podemos adequá-la e fazer: no lugar de "x", colocar (x² + a), vezes (x² + b). Com isso, nós ficamos com: x⁴ + (a + b)x² + ab. Agora podemos identificar os coeficientes e o que significa cada um, ou seja, nós podemos escrever esta equação através deste produto notável. Portanto, nós temos: (a + b) vai ser o 7, isto é (a + b), e o -18 vai ser o (a vezes b). Portanto, quais são os números que, somados, dão 7 e, multiplicados, dão -18? Primeiro, eles devem ter sinais contrários. Segundo, o valor positivo, em módulo, deve ser maior do que o valor negativo em módulo. Pois, quando você subtrai, obtém um número positivo. Eu chutaria aqui 9 e -2. 9 - 2 = 7 e 9 vezes -2 = -18. Portanto, eu posso escrever este polinômio da seguinte forma: vou repetir o "x", vou colocar aqui o igual para saber que estamos falando que é tudo igual. Vou colocar o x² + a, que seria x² + 9, vezes x² + b, que seria x² - 2. Isso deve ser igual a zero. Obviamente, nós temos que, nas raízes, basta que este fator seja igual a zero ou este seja igual a zero, ou este seja igual a zero. Nós vimos que este fator leva às raízes complexas e estes dois fatores, o "x" e o "x² - 2," levam a três raízes: uma é zero, uma é menos raiz de 2 e a outra é mais raiz de 2. O mais importante aqui é você verificar que, não importa a maneira como nós fizemos ou resolvemos a equação, todos eles têm as mesmas quantidades de interseções, as mesmas raízes, o mesmo formato. Obviamente, são os mesmos polinômios. Ou seja, esta é outra forma de resolvermos a equação polinomial que resolvemos no vídeo anterior.