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Curso: Matemática 3 > Unidade 11

Lição 1: Distribuição binomial

Probabilidade binomial (básico)

Problema 1: construção de intuição com lances livres

Sofia acerta

90 %

dos arremessos livres que tenta. Ela fará

3

arremessos livres. Assuma que os resultados dos três arremessos livres são independentes entre si.

Ela quer calcular a probabilidade de acertar exatamente $2$ ‍ de $3$ ‍ arremessos livres.

Para pensar nesse problema, vamos dividir esse problema em pequenas partes.

problema A

Se ela acertar $2$ ‍ dos arremessos livres, quantos arremessos livres significa que ela precisa errar?

problema b

Calcule a probabilidade de ela acertar seus $2$ ‍ primeiros arremessos livres e errar o terceiro arremesso livre.
Se necessário, arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.

P (acerto, acerto, erro) =

problema c

"Acerto, acerto, erro" não é a única maneira que Sofia pode acertar

2

arremessos livres em

3

tentativas.

Calcule a probabilidade de ela acertar seu primeiro arremesso livre; depois, errar o segundo; e, em seguida, acertar o terceiro.
Se necessário, arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.

P (acerto, erro, acerto) =

problema d

Sofia também poderia acertar

2

arremessos livres se seus resultados fossem "erro, acerto, acerto".

Calcule a probabilidade de ela errar seu primeiro arremesso livre e acertar seus $2$ ‍ próximos arremessos.
Se necessário, arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.

P (erro, acerto, acerto) =

problema E

Use a fórmula da combinação para confirmar que essas $3$ ‍ maneiras representam todas as maneiras em que é possível organizar $2$ ‍ acertos em $3$ ‍ tentativas.

_{n} C_{k} = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

_{3} C_{2} =

maneiras

problema f

Agora, junte todas as informações para descobrir a probabilidade de ela acertar exatamente $2$ ‍ dos $3$ ‍ arremessos livres.
Se necessário, arredonde sua resposta para a segunda casa decimal.

P (acerta 2 de 3 arremessos livres) = P (S S F) + P (S F S) + P (F S S)

P (acertar 2 de 3 arremessos livres) =

Generalização a partir do Problema 1: construção de uma fórmula para uso futuro

Vimos no Problema 1 que ordens diferentes do mesmo resultado têm a mesma probabilidade.

Podemos construir uma fórmula para esse tipo de problema, que é chamado modelo binomial. Um problema de probabilidade binomial tem essas características:

um número definido de ensaios $(n)$ ‍
cada ensaio pode ser classificado como "sucesso" ou "fracasso"
a probabilidade de sucesso $(p)$ ‍ é a mesma para cada ensaio
os resultados de cada ensaio são independentes entre si

Aqui está um resumo da nossa estratégia geral para probabilidade binomial:

\begin{aligned} P (\overset{obter exatamente um}{nº de sucessos}) \\ = (\overset{nº de}{arranjos}) \cdot {(\overset{probabilidade}{de sucesso})}^{(\overset{nº de}{sucessos})} \cdot {(\overset{probabilidade}{de fracasso})}^{(\overset{nº de}{fracassos})} \end{aligned}

Usando o exemplo do Problema 1:

$n = 3$ ‍ arremessos livres
cada arremesso livre é "acertar" (sucesso) ou "errar" (fracasso)
a probabilidade de que ela acerte um arremesso livre é $p = 0, 90$ ‍
assuma que os arremessos livres são independentes entre si

\begin{aligned} P (acertar 2 dos 3 lances livres) & =_{3} C_{2} \cdot (0, 90)^{2} \cdot (0, 10)^{1} \\ = 3 \cdot 0, 81 \cdot 0, 10 \\ = 3 \cdot 0,081 \\ = 0,243 \end{aligned}

Em geral...

P (exatamente k sucessos) =_{n} C_{k} \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Tente usar essas estratégias para resolver outro problema.

Problema 2

Lucas, irmão caçula da Sofia, tem somente

20 %

de chance de acertar um arremesso livre. Ele irá tentar

4

arremessos livres.

Qual é a probabilidade de que ele acerte exatamente $2$ ‍ dos $4$ ‍ arremessos livres?

P (exatamente 2 acertos) =

Desafio

Sofia promete ao Lucas que irá comprar um sorvete se ele acertar

3

ou mais dos

4

arremessos livres.

Qual é a probabilidade de que ele acerte $3$ ‍ ou mais dos $4$ ‍ arremessos livres?

P (3 ou mais acertos) =

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Mateus Riley
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Na fórmula há "número de ...” de Mateus Riley
Na fórmula há "número de arranjos". Não seria número de combinações?
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Pedro
Publicado há há 7 meses. Link direto para a postagem “Sofia acerta \[90\%\] do...” de Pedro
Sofia acerta
\[90\%\] dos lances livres que tenta. Ela vai fazer
\[3\] lances livres. Assuma que os resultados dos lances livres sejam independentes uns dos outros. Seja
\[X\] o número de lances livres que ela acerta.
Calcule a probabilidade de que Sofia acerte exatamente
\[1\] dos
\[3\] lances livres.
Você pode arredondar sua resposta para duas casas decimais.
\[P(X=1)=\]
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Resposta
Fernanda
Publicado há há um ano. Link direto para a postagem “Como se chegou na probabi...” de Fernanda
Como se chegou na probabilidade de acertar o arremesso é de p=0,20 no desafio?
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Resposta
- Maria Castriani
  Publicado há há 8 meses. Link direto para a postagem “o exercício diz que a pro...” de Maria Castriani
  o exercício diz que a probabilidade dele acertar é de 20%, entao a de ele errar é de 80%
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