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Equações com expressões racionais

Neste vídeo, resolvemos (x²-10x+21)/(3x-12)=(x-5)/(x-4), que tem uma solução real e uma solução estranha.

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Transcrição de vídeo

RKA - Temos uma pequena equação aqui que envolve expressões racionais. Encorajo-lhe a pausar o vídeo e ver se consegue descobrir os valores de x que satisfazem essa equação. Agora vamos trabalhar nisso juntos. Então, em primeiro lugar, quero ver se consigo simplificar isso, e talvez encontrar fatores comuns entre os numerador de denominadores ou fatores comuns em ambos os lados da igualdade. Vamos fatorar todos os numeradores e denominadores. Todos do lado direito estão feitos. Sobre essa coisa, aqui em cima, eu posso reescrever como... Quais são os números cujo produto é 21? Se é +21, eles terão o mesmo sinal. E, quando somados, obtém-se -10. Bem, -7 e -3. Podemos reescrever, então, como x - 7 vezes x - 3. Aqui embaixo, ambos são divisíveis por 3. Posso reescrever isso como 3 vezes x - 4. Esse já está fatorado. A única coisa que me chama atenção é que há x - 4 nos denominadores de ambos os lados da igualdade. Então, eu poderia multiplicar os dois lados por x - 4. Deixe-me formalmente substituir esse termo... E, aqui em cima, como não é tão óbvio que me será valioso manter essa forma fatorada, então eu vou manter a forma amarela. Isso é, a forma expandida. Vou riscar aqui também. Bem, vamos multiplicar por x - 4. Se fizermos isso dos dois lados... E, mais uma vez, por que estou fazendo isso? Para anular o x - 4 dos denominadores. x - 4 aqui, x - 4 aqui. Cancela aqui, cancela aqui, cancela aqui, cancela aqui. E, no numerador, ficamos com o nosso x² - 10x + 21 dividido por 3. É igual a x - 5. Agora, o que podemos fazer, ou poderíamos ter feito na última etapa, é multiplicar ambos os lados por 3. Aqui, ali também. Do lado esquerdo, podemos cancelar ficando com x² - 10x + 21. Igual a 3 vezes x... Podemos fazer a distributiva: 3 vezes x é 3x. 3 vezes -5 é -15. Agora obtemos uma forma quadrática padrão ao passarmos esses termos para a esquerda. A melhor maneira de se fazer isso é subtrair 3x dos dois lados, preservando a igualdade. Senão a igualdade não será realizada. E precisamos eliminar o -15. Então, adicionamos 15 em ambos os lados. E, assim, o que nos restará? Vamos deslocar um pouco para sobrar um pouco mais espaço. O que nos resta é x² - 13x mais... 21 + 15, 36. Isso é igual a 0. Muito bem, agora temos nossa função quadrástica na forma padrão. Como podemos resolvê-la? Consideremos esse primeiro fator: produto de dois números dá 36. Se somá-los, tenho -13. Eles serão negativos, uma vez que têm que ter o mesmo sinal para que o produto seja positivo. E parece que 9 e 4 resolvem isso. Ou melhor, -9 e -4. Então, x - 4 vezes x - 9. É igual a 0. Bem, isso vai acontecer se x - 4 = 0 ou x - 9 = 0. Ao adicionarmos 4 dos dois lados, temos que x = 4. E, fazendo o mesmo aqui, temos que x = 9. Então, podemos dizer que as soluções são: x = 4 ou x = 9. Assim... x = 4 e x = 9. Mas precisamos ter cuidado. Precisamos lembrar que a expressão original, x - 4, era fator em ambos os denominadores e, por isso, se realmente testarmos x - 4 na equação original e não nessas etapas intermediárias, teríamos uma divisão por 0 bem aqui. E, na verdade, teríamos uma aqui, 0 também. Assim, nas equações originais, se substituirmos o 4, elas não fazem sentido. Então, ela é realmente uma solução estranha. Não será uma solução para a equação original. A única solução é x = 9.