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Introdução às equações com raízes quadradas

Neste vídeo, damos um exemplo de como uma solução estranha surge ao resolver 2x-1=√(8-x).

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Temos uma equação irracional. Antes de começar a resolver essa equação irracional, vamos ver algumas premissas. Primeiro, se eu chamar este termo de g(x) e chamar este termo de f(x), eu tenho que g(x) = √f(x). Uma coisa que nós vemos é que g(x) tem que ser maior ou igual a zero, pois é raiz quadrada de alguma coisa. Senão, ela não é definida. O que acontece com as equações irracionais, é o surgimento, às vezes, de raízes estranhas, pois a maneira de solucionar a questão é elevando ambos os membros ao quadrado. Quando você faz isso, você tem (2x - 1)² é igual a (√8 - x)². Mas, também (2x - 1)² seria igual a menos raiz de "8 - x", tudo elevado ao quadrado. Ou seja, quando você pegar e elevar ao quadrado, você vai ter aqui 2x². O quadrado do primeiro, 4x², menos duas vezes o primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Você vai ter 8 - x. E se você tivesse 2x - 1 = - √8 - x. Quando você eleva ao quadrado, você vai ter a mesma equação. Ou seja, 4x² - 4x + 1 = 8 - x. Então, como verificar, como ver se introduzimos raízes estranhas ou não? Primeiro, podemos fazer que g(x) tenha que ser maior ou igual a zero. Neste caso, porque nós temos a raiz positiva, significa que 2x - 1 tem que ser maior ou igual a zero. Ou seja, 2x tem que ser maior ou igual a 1, "x" maior ou igual a 1/2. Ou seja, quando você chegar na solução de "x", verificar se ele é maior ou igual a 1/2 e, então, isso satisfaz. A outra forma, é resolver a equação. Você pega a equação, que a mesma é válida para as duas situações. Resolve e substitui na equação inicial, verificando se ela é válida ou não. Se a solução é válida ou não. Portanto, vamos resolver a equação. Nós temos 4x² - 4x + 1 = 8 - x. Vamos somar "x" de ambos os lados, vamos subtrair 8 de ambos os lados. Então, nós temos, deste lado esquerdo nós vamos ter 4x² - 3x - 7 = 0 Este "x" cancela com este "x", -8 com este 8. Nós temos -b, ou seja, dá -(-3), dá 3. mais ou menos a raiz quadrada de b², que é -3², vai dar 9, menos 4ac. Como temos um termo aqui -7, menos 4ac vai ficar positivo, então +4 vezes 4, vezes 7, tudo isso dividido por 2a. Ou seja, 2 vezes 4 que é igual a 8. Portanto, nós temos 3 mais ou menos a raiz quadrada de 4 vezes 4 é 16. 16 vezes 7 é igual a 112. 112 + 9 = 121. 121/8. E aqui nós temos duas raízes, uma raiz que é √121 é 11. Então, temos 3 + 11 / 8. Ou seja, 14/8. E temos, 3 - 11 vai dar -8, dividido por 8 vai dar -1. Por aqui, nós já verificamos que devemos eliminar -1, pois -1 não é maior do que 1/2. 14/8 está mais próximo de 2, do que de 1. Portanto, este termo aqui é maior ou igual a 1/2. Então, isso aqui deve ser a solução. Vamos verificar que -1 não resolve a equação. Então, vamos ver. Se substituirmos, no lugar de "x" por -1, vamos ter 2 vezes -1 - 1 igual a √8 - (-1). Vamos substituindo "x" por -1. Significa que, -1 vezes 2 dá -2, - 1 - 3, -3 é igual a 8 - (-1) é 8 + 1. 8 + 1 √3. Como -3 não é igual a 3, essa √-1 é uma raiz estranha na equação. Fica como exercício, você resolver 14/8, substituir, e ver que ela é a raiz da equação.