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Como resolver equações com raízes quadradas: duas soluções

Neste vídeo, resolvemos a equação 6+3w=√(2w+12)+2w, que tem duas soluções.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Temos uma equação irracional 6 + 3w = √(2w + 12) + 2w. A primeira coisa que vamos fazer é tirar este 2w do lado direito para podermos analisar a nossa equação irracional melhor. Então, ficamos com 3w - 2w, vai ficar 6 + w é igual a √2w + 12. Nós temos um termo que é igual à raiz positiva de outro. Significa que se eu chamar este termo de g(x), g(x) tem que ser maior ou igual a zero. Ou seja, a condição que 6 + w seja maior ou igual a zero, faz com que "w" tenha que ser maior ou igual a -6. Ao resolver a equação irracional, se eu encontrar valores maiores ou iguais a 6, elas são raízes. Caso eu encontre raízes que não sejam maiores ou iguais a -6, elas são raízes estranhas e não são soluções. A outra forma é por substituição. Nós encontramos as raízes e substituímos na equação inicial e verificamos a sua validade. Vamos elevar ao quadrado ambos os lados. Lembrando que ao elevar ao quadrado, tanto a raiz positiva como a raiz negativa vai ficar a mesma coisa. Ou seja, você pode introduzir uma solução que seja estranha à equação. Mas isso que nós vamos verificar. Então, fica o quadrado do primeiro, 36, mais 2 vezes o primeiro pelo segundo. 12w. Mais o quadrado do segundo igual a 2w + 12. Vamos subtrair -2w de ambos os lados e -12, vamos subtrair 12 de ambos os lados também. Então, ficamos com a expressão, aqui vai dar zero, aqui vai dar zero. Então, ficamos com a expressão w² + 10. 36 - 12 dá 24, mais 24 igual a zero. Qual é o número que somado dá 10 e multiplicado dá 24? 6 e 4. Portanto, (w + 6) vezes (w + 4) vai dar este polinômio aqui do segundo grau. Então, uma solução é w = -6 ou w = -4. Então, temos duas possibilidades ou duas respostas. Analisando nossa condição, verificamos que as duas raízes satisfazem nossa condição, pois -6 é maior ou igual a -6 e -4 é maior ou igual a -6. Ou seja, temos duas soluções. Fazendo pelo método da substituição, vamos substituir na equação simplificada que é 6 + w = √2w + 12. Vamos resolver para -6 e vamos resolver para -4. Para -6 temos 6 - 6, "w" é -6. É igual à raiz quadrada de 2 vezes -6 + 12 6 - 6 = 0. 2 vezes -6 dá -12, mais 12 igual a zero, raiz quadrada, zero. Ou seja, está correto "w" ser igual a -6. Vamos verificar para "w" igual a -4. Nós vamos ter 6 - 4, pois "w" é -4, igual a √(2 vezes (-4) + 12). 6 - 4 = 2. √2 vezes - 4 = -8. -8 + 12 = 4 2 é √4. Ou seja, está correto. E, neste caso, nós temos duas raízes que satisfazem a equação.