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Curso: Matemática 3 > Unidade 8

Lição 3: Resolução de triângulos gerais
Matemática
Matemática 3
Trigonometria
Resolução de triângulos gerais
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Revisão da lei dos senos e cossenos

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Revise a lei dos senos e a lei dos cossenos e use-as para resolver problemas com qualquer triângulo.

Lei dos senos

asen(α)=bsen(β)=csen(γ)

Lei dos cossenos

c2=a2+b2−2abcos⁡(γ)
Quer saber mais sobre a lei dos senos? Confira este vídeo.
Quer saber mais sobre a lei dos cossenos? Confira este vídeo.

Conjunto de exercícios 1: resolução de triângulos usando a lei dos senos

Essa lei é útil para encontrar um ângulo desconhecido quando dado um ângulo e dois lados, ou para encontrar um lado desconhecido quando dado dois ângulos e um lado.

Exemplo 1: como encontrar o lado desconhecido

Vamos encontrar AC no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos senos, ABsen(∠C)=ACsen(∠B). Agora, podemos inserir os valores e resolver:
ABsen(∠C)=ACsen(∠B)5sen(33∘)=ACsen(67∘)5sen(67∘)sen(33∘)=AC8,45≈AC

Exemplo 2: como encontrar um ângulo desconhecido

Vamos encontrar m∠A no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos senos, BCsen(∠A)=ABsen(∠C). Agora, podemos inserir os valores e resolver:
BCsen(∠A)=ABsen(∠C)11sen(∠A)=5sen(25∘)11sen(25∘)=5sen(∠A)11sen(25∘)5=sen(∠A)
Ao calcularmos usando uma calculadora e arredondarmos:
m∠A=sen−1(11sen(25∘)5)≈68,4∘
Lembre-se de que, se o ângulo desconhecido é obtuso, devemos pegar 180∘ e subtrair o que obtivemos na calculadora.
Problema 1.1
BC=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

Arredonde para a dezena mais próxima.

Quer tentar resolver mais problemas como este? Confira este exercício.

Conjunto de exercícios 2: resolução de triângulos usando a lei dos cossenos

Essa lei é mais útil para encontrar a medida de um ângulo quando dados todos os comprimentos dos lados. Ela também é útil para encontrar um lado desconhecido quando dadas as medidas dos outros lados e de um ângulo.

Exemplo 1: como encontrar um ângulo

Vamos encontrar m∠B no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos cossenos:
(AC)2=(AB)2+(BC)2−2(AB)(BC)cos⁡(∠B)
Agora, podemos inserir os valores e resolver:
(5)2=(10)2+(6)2−2(10)(6)cos⁡(∠B)25=100+36−120cos⁡(∠B)120cos⁡(∠B)=111cos⁡(∠B)=111120
Ao calcularmos usando uma calculadora e arredondarmos:
m∠B=cos−1⁡(111120)≈22,33∘

Exemplo 2: como encontrar um lado desconhecido

Vamos encontrar AB no seguinte triângulo:
De acordo com a lei dos cossenos:
(AB)2=(AC)2+(BC)2−2(AC)(BC)cos⁡(∠C)
Agora, podemos inserir os valores e resolver:
(AB)2=(5)2+(16)2−2(5)(16)cos⁡(61∘)(AB)2=25+256−160cos⁡(61∘)AB=281−160cos⁡(61∘)AB≈14,3
Problema 2.1
m∠A=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
∘
Arredonde para o grau mais próximo.

Quer tentar resolver mais problemas como este? Confira este exercício.

Conjunto de exercícios 3: problemas gerais de triângulos

Problema 3.1
"Falta só um." Renato dá o sinal ao seu irmão do seu esconderijo.
Matias concorda com a cabeça, avistando o último robô inimigo.
"34 graus." Matias sinaliza de volta, informando a Renato o ângulo que ele observou entre Renato e o robô.
Ryan registra esse valor no diagrama (mostrado abaixo) e faz um cálculo. Após calibrar seu canhão laser para a distância correta, ele se levanta, mira e atira.
Para que distância Renato calibrou seu canhão laser?
Não arredonde os valores para fazer os cálculos. Arredonde sua resposta final para o metro mais próximo.
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
 m

Quer tentar resolver mais problemas como este? Confira este exercício.

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