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Problema de trigonometria: duração do dia (mudança de fase)

Neste vídeo, resolvemos um problema sobre a variação anual na duração do dia, modelando-a com uma função senoidal que tem uma mudança de fase. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - O dia mais longo do ano em Juneau, Alasca, é 21 de junho, que dura 1.096,5 minutos. Meio ano depois, quando os dias são os mais curtos, a duração é de 382,5 minutos. Se o ano não é bissexto, sua duração é de 365 dias, e 21 de junho é o 172º dia do ano. Escreva uma função trigonométrica que modele a duração L do t-ésimo dia do ano, considerando que o ano em questão não é bissexto. Então eu quero descobrir uma função L(t). E agora eu encorajo você a pausar o vídeo e tentar resolver por você mesmo. Agora eu vou dar a resposta, valeu? O que eu vou fazer aqui, na verdade, é que eu não vou começar pela L(t), eu vou definir uma outra função, digamos L(u), que vai ser uma versão mais simples dessa L(t). E aí depois eu vou trabalhar em cima dessa função para determinar L(t). E o que significa esse "u" aqui? Pois bem, esse "u" é os dias após o dia 21 de junho. Então se eu pensar aqui no dia 21 de junho, esse meu "u" vai ser igual a zero, pois vai ser o meu ponto de partida, o dia 21 de junho. Mas aqui se eu pensar em termos de "t", o dia 21 de junho vai ser o 172º dia do ano. Então vai ser o dia 172. E qual a relação entre o "u" e o "t"? Pois bem, dá pra perceber que o "u" está 172 dias na frente do "t", é ou não é? Portanto, esse "u" vai ser igual a "t" - 172, para dar igual a zero aqui, sim ou não? Pois como a gente está vendo aqui, o "t" é igual a 172, quando substituir aqui, o "u" vai dar igual a zero. Agora, o que acontece com a função L(u) quando esse "u" é igual a zero? Ora, quando "u" é igual a zero, a gente vai estar no dia 21 de junho e o dia vai estar no seu período máximo de 1.096 minutos e meio, sim ou não? E qual é a função trigonométrica que quando eu começo pelo zero, ela já me dá o seu valor maior de todos? Como a gente sabe, o seno de zero é zero, e o cosseno de zero é quanto? É 1. Então eu posso usar o cosseno aqui, já que o cosseno de zero já vai no seu ponto máximo. Logo, vai ser mais fácil usar o cosseno aqui, sim ou não? Logo, essa função aqui vai ser uma determinada amplitude, que vai multiplicar pelo cosseno de alguma coisa aqui dentro, que eu vou dizer que é um determinado coeficiente B que vai multiplicar por aquele "u" ali, sim ou não? Mais alguma constante, que é o que vai mover a função para cima ou para baixo, da maneira que eu quiser. Agora eu já sei como vai ficar mais ou menos a função L(u). Basta que eu descubra o valor do A, do B e do C. Vamos lá. Portanto, vamos pensar primeiro sobre a amplitude e a linha média. Essa linha média aqui vai depender, claro, de quanto eu estou movendo a função para cima e para baixo. Logo, como já sei o valor mais alto da função e o valor mais baixo, eu posso usar a calculadora para calcular a média desses dois valores, que aí eu vou ter, então, o lugar exato onde vai estar a linha média. Então vamos lá: 1.096,5 + 382,5, tudo isso dividido por 2 e aí eu vou ter a média aritmética daqueles dois valores, que vai dar 739,5. E esse valor aqui que nós achamos, é exatamente o valor do C, é ou não é? Então aqui no lugar do C eu posso colocar 739,5. Agora para descobrir a amplitude, é quanto esses valores de máximo e mínimo vão divergir aqui dessa linha média, sim ou não? Então basta que eu calcule a diferença entre esses valores. Tanto de máximo e de mínimo para essa linha média aqui. Usando a calculadora novamente, eu vou fazer 1.096,5 - 739,5. E aí eu tenho, então, que a amplitude vai ser 357. Logo, eu já posso dizer que esse A é igual a 357. Fica restando, então, a gente descobrir o valor do B. Quanto vai ser esse B aqui? Para descobrir o valor do B, eu vou pensar no período da função, no comportamento que esta função tem. Para me ajudar, eu vou fazer uma tabelinha aqui. Vamos lá então. Aqui eu vou colocar valores para o "u". E eu quero saber primeiro quando o "u" é igual a zero, qual vai ser o comportamento dessa função? Ora, como nós queremos que o cosseno de zero esteja no seu ponto máximo, foi o que a gente disse aqui antes de começar a fazer, então essa função aqui, para quando "u" for igual a zero, vai ser 357, que multiplica pelo cosseno de zero, já que zero vezes o B vai dar zero. Então aqui eu vou ter o cosseno de zero, mais 739,5. E qual vai ser o período da função? Ora, vai ser quando se passarem mais 365 dias, um ano inteiro. E a gente vai voltar para o mesmo ponto, sim ou não? Para o dia 21 de junho. Então, quando "u" é 365, eu volto para aquele mesmo ponto. E como eu vou estar novamente naquele ponto máximo, isto vai ser, essencialmente, 357 vezes o cosseno de 2 pi (π), já que eu vou ter passado o período inteiro, mais 739,5. Por exemplo, se eu pensasse nesse argumento aqui de dentro do cosseno, como sendo um seno qualquer teta, a gente completa um período, claro, saindo do ângulo zero, quando a gente completar 2π, sim ou não? Então o comportamento da função vai ser esse daqui, essencialmente. Logo, uma maneira de pensar sobre esta função aqui é que o B multiplicado por 365, um período inteiro, vai ser igual a 2π, é ou não é? Então eu sei aqui, eu posso escrever que B vezes 365, isso aqui vai ser esse argumento aqui dentro da função, certo? Isso vai ser igual a 2π. Ou, simplificando, eu tenho que esse B vai ser igual a 2π sobre 365. E aqui nós já quase acabamos, olha só, só falta substituir o "u" como sendo "t" - 172, sim ou não? Quando a gente fizer isso, pronto, acabamos. Já podemos escrever a nossa função. Então vamos fazer isso. Então nós temos aqui que a nossa função L(t) vai ser igual a este A, quanto vale o A? 357. Que multiplica o cosseno de quanto? Deste valor de B aqui que nós calculamos, que é 2π sobre 365. E isso aqui vai multiplicar pelo valor do "u". Só que eu não vou colocar mais esse "u" aqui, eu vou colocar o "t", porque o que eu quero é uma função L(t), é ou não é? Escreva a função trigonométrica que modele a função L do t-ésimo dia do ano. Então está em função do "t". Logo, esse "u", como nós calculamos aqui, ele é igual a "t" - 172, certo? E, finalmente, basta somar então 739,5. E assim nós finalizamos este exercício. Parece que a expressão é meio complicada, grande, estranha, mas se você fizer passo a passo como nós fizemos aqui em cima, quebrando em unidades menores, ou seja, começando a definir uma função para aquele ponto inicial, nesse caso aqui 21 de junho, e aí depois fazendo as substituições adequadas, pronto, resolvemos a questão de maneira bem simples. Depois bastou usar o ângulo zero e 2π, que é um período completo da função, e aí eu me preocupei com o quanto ela se move, nesse caso aqui é o valor do "u" que nós calculamos aqui em cima, "t" - 172. Espero que tenha feito sentido. E a gente se vê no próximo vídeo!