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Problema de trigonometria: modelagem da temperatura anual

Neste vídeo, resolvemos um problema sobre a variação anual na temperatura, modelando-a com uma função senoidal. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA - O dia mais quente do ano em Santiago, capital do Chile, em média, é o dia 7 de janeiro quando a temperatura média é de 29 graus Celsius. O dia mais frio do ano tem uma temperatura média de 14 graus Celsius. Use uma função trigonométrica para modelar a temperatura em Santiago, no Chile, usando 365 dias como a duração de um ano. Lembre-se de que o dia 7 de janeiro é verão em Santiago. Quantos dias após o dia 7 de janeiro será o primeiro dia de primavera quando a temperatura alcança 20 graus Celsius? Vamos resolver esse problema em duas partes. Primeiramente, vamos tentar descobrir uma função trigonométrica que modele essa temperatura em Santiago do Chile. Nós temos a temperatura em função dos dias; em que os dias são números depois do dia 7 de janeiro. E, aí, quando tivermos essa função trigonométrica para modelar essa questão, podemos ir para a segunda parte da resolução, que vai ser a resposta à pergunta "quantos dias após o dia 7 de janeiro será o primeiro dia de primavera quando a temperatura alcança 20 graus Celsius?". Bem, para começar, vamos fazer um gráfico dessa função. E parece bem claro por que a gente escolhe uma função da trigonométrica para modelar isso: porque as temperaturas durante as estações do ano, elas são cíclicas. Elas têm altos e baixos. E, se você olhar para o gráfico da temperatura de qualquer cidade no mundo, ela realmente parece o gráfico de uma função trigonométrica. Portanto, vamos fazer aqui o eixo do "x" até aqui embaixo, que vai ser o eixo dos dias. Vou colocar aqui "d" de dias. Esses dias começam após o dia 7 de janeiro, então esse ponto aqui será o ponto do dia 7 de janeiro. E esse eixo vertical aqui, ele vai ser a representação dos graus Celsius. Aqui, a temperatura mais alta: 29 graus Celsius. Beleza? E a média da temperatura mais baixa, que é 14 graus, vai estar por aqui assim; esse valor de 14 graus Celsius. E, então, a nossa temperatura vai variar de acordo com esses dois extremos: o dia mais quente, em média, que tem 29 graus (que é durante o verão lá no Chile); e a média do dia mais frio, que é de 14 graus. Está certo? Então, vai variar por aqui assim o nosso gráfico. E a razão pela qual escolhemos uma função trigonométrica é porque é cíclico. A gente parte do dia 7 de janeiro e, quando a gente chega aqui ao final dos 365 dias, a gente retorna para o dia 7 de janeiro. Então, se a temperatura máxima nesse dia 7 de janeiro é 29 graus, aqui, ao final dos 365 dias, também vai ser de 29 graus Celsius. Sim ou não? Assim como a temperatura mais baixa na média vai estar bem aqui no meio, né? No meio do caminho entre as duas temperaturas mais altas dos dois dias 7 de janeiro; então, vai estar por aqui assim. E, aí, o gráfico da temperatura vai ser algo mais ou menos assim: aqui é o ponto mais baixo do gráfico (vai ficar mais ou menos aqui assim), e o ponto mais alto virá aqui desse jeito. Vai ficar mais ou menos dessa forma aqui o nosso gráfico. Aqui, nós temos um outro ponto de temperatura máxima. Aqui, vai ficar, então, dessa forma aqui (me parece bom o gráfico assim). Eu desenhei aqui um período da nossa função trigonométrica, certo? Sabendo que esse período é de 365 dias. Então, o que eu quero que você faça aqui é que você determine uma expressão para ter em função de "d" dos dias (ou seja, uma expressão para a temperatura em função dos dias) de acordo com uma função trigonométrica. E, aí, aceita o desafio? Quer fazer? Então, pause o vídeo e tente fazer; mas, assumindo que você já tentou fazer, vamos dar a resposta. Essa curva aqui, ela parece com uma curva do cosseno? Com uma curva do seno? Qual deles eu vou usar? Eu poderia usar qualquer um deles, mas eu vou usar o mais simples. Pense bem, se isso daqui fosse ângulos (poderiam estar em graus ou radianos), qual é a função trigonométrica que começa no seu ponto mais alto? Pois bem, o cosseno de zero é 1; e, portanto, a função cosseno, ela já começa no seu ponto máximo. O seno de zero é zero. Então, é o cosseno que eu vou utilizar aqui. Daí, que a nossa temperatura em função dos dias vai ser igual a alguma amplitude multiplicada pelo cosseno de alguma coisa (eu vou colocar alguma coisa aqui dentro depois) e, provavelmente, eu tenho que dar uma levantada nessa função depois, ou seja, somar com alguma coisa no final. E, para a gente tentar descobrir o que vai escrever naquela fórmula, primeiro eu vou tentar descobrir o ponto central aqui, entre o 29 e o 14 graus, que vai ser esse ponto aqui. Vai estar entre 29 graus e 14 graus, bem no meio. Ora, para calcular esse valor aqui é muito simples: basta tirar uma média aritmética entre os 29 graus e os 14 graus, "29 + 14" é 43, 43 dividido por 2, 21,5 graus Celsius, certo? Isso quer dizer que a gente subiu com a nossa função aqui essa quantidade; pois, se a gente tivesse com uma função cosseno tradicional, o nosso ponto central dessa função que a gente fez aqui agora, se fosse o cosseno tradicional, seria no zero. Como ela está aqui no 21,5, isso quer dizer que a gente subiu com essa função para esse ponto; e, portanto, eu vou ter que somar a essa função aqui 21,5. E qual vai ser a nossa amplitude? A nossa amplitude é quanto a gente diverge dessa linha central. Nesse caso aqui, por exemplo, do 21,5 graus Celsius até 29 graus Celsius, tem 7,5 graus. Então, eu estou somando 7,5. E, aqui, eu tenho 7,5 abaixo dessa linha central. E isso quer dizer que a nossa amplitude é de 7,5. Agora, vamos pensar no nosso argumento que a gente vai colocar aqui dentro do cosseno. Pois bem, o que eu sei é que vai ser em função dos dias. Como nós queremos que aqui dentro, esse argumento inteiro aqui, tenha 2π, isso quer dizer que, quando "d" tiver 365 dias, eu quero que dê 2π, certo? Vai ser o período. E, aí, eu posso escrever aqui dentro 2π/365. Daí, você pode perguntar assim: "mas, caramba, como é que você conseguiu botar aí 2π/365?" Ora, como eu quero que aqui dê 2π e eu tenho que o período inteiro tem 365 dias, então, quando eu multiplicar esse 2π por 365, eu vou precisar dividir por 365, para poder, então, simplificar e obter o 2π, certo? Por isso que eu coloquei 2π/365. E, com isso, a gente termina a primeira parte dessa questão. A gente acabou de modelar a função trigonométrica que vai modelar aqui a temperatura na cidade de Santiago do Chile. E, agora, no próximo vídeo, eu vou resolver de fato a questão. Mas, antes de eu resolver, eu peço que você tente fazer antes de assistir ao próximo vídeo e, aí, depois, assista para ver se você acertou ou não. E eu vou te dar uma dica aqui para você resolver essa questão: atente-se ao fato de que ele te diz que é o primeiro dia de primavera, certo? Então, é isso. A gente se vê no próximo vídeo.