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Transformação de gráficos senoidais: ampliações verticais e horizontais

Neste vídeo, plotamos y=-2,5*cos(1/3*x) considerando-a como uma ampliação e reflexão vertical, e uma ampliação horizontal de y=cos(x). Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA13JL - Nesta questão, nos é pedido para construir o gráfico da função "y" = -2,5 vezes cos (⅓)x no intervalo que vai de zero até 6π, incluindo o zero e o 6π. Ora, para desenhar isso, eu vou, na verdade, começar desenhando o gráfico da sua função mais primitiva, que é a função "y" = cos x. Deixa eu fazer aqui o eixo do "x" e do "y". Fica assim, aqui está o eixo do "y", aqui o eixo do "x". E aqui eu vou marcar os pontos -1 e -2, aqui, no eixo do "y", os pontos 1 e 2 positivos. E aqui no eixo do "x", eu vou marcar o ponto de 2π. Portanto, o π vai estar aqui no meio do caminho. E agora o que eu vou fazer é copiar este gráfico aqui para que eu possa usá-lo depois, né? E fazer as alterações necessárias. Copiado. Então, como eu disse, primeiramente, eu vou fazer o gráfico da função "y" = cos x. E eu vou fazer isso no intervalo de zero até 2π, mas, como você sabe, é uma função periódica cíclica, então ela continua, no caso, aqui deste intervalo que nós definimos, de zero até 6π, beleza? Então analisando este gráfico aqui do "y" = cos x, é o seguinte, quando "x" for zero, qual vai ser o cosseno de zero? Ora, cosseno de zero vai ser igual 1. Então o pontinho vai estar aqui sobre este 1, no eixo "y". Depois disso, eu quero saber quanto é o cos x para quando o "x" for π. E aí? Quando "x" é π, o cos π vai ser igual a -1. Então o pontinho vai estar aqui, né? Depois disso, o cos 2π é igual a 1 novamente, e aí completamos um ciclo aqui, é ou não é? Portanto, este gráfico vai parecer mais ou menos com isto aqui. Até o 2π, ele completa um ciclo, vai ficar parecendo isto aqui, assim. Lembrando que eu poderia prosseguir, dessa forma, mas o que eu quis fazer aqui era apenas fazer o gráfico entre o zero e o 2π, beleza? Isto aqui é o que representa um ciclo dessa função "y" = cos x. Agora, o que eu vou fazer aqui vai ser o seguinte: em vez de fazer o gráfico do "y" = cos x, o que eu vou fazer agora vai ser o gráfico de... Deixa eu posicionar aqui. O que eu vou fazer agora vai ser o gráfico de "y" = cos (⅓)x. E agora, o que será que vai acontecer aqui quando eu calculo cos (⅓)x em comparação a este gráfico aqui? Vamos ver. Agora eu vou fazer, no caso aqui, para todo esse intervalo, do zero até 6π. Então aqui eu tenho 2π, aqui eu vou ter o 4π, por aqui, aqui, 5π, então aqui vai estar o 6π, beleza? Uma das maneiras de pensar no gráfico desta função aqui é perceber o seguinte, que, no caso do cos x, em comparação ao cos (⅓)x, esse cos (⅓)x aqui vai completar um ciclo de maneira três vezes mais lenta que o cosseno de x, é ou não é? já que cada valor do "x" aqui está sendo dividido por 3. Então eu te faço uma pergunta aqui: qual vai ser o período dessa função? Período de cos (⅓)x? Ora, o período vai ser igual a 2π dividido pelo módulo desse coeficiente aqui, que está multiplicando o "x". Então, dividido pelo módulo de ⅓. Isso aqui vai ser igual a 2π, que multiplica 3, é ou não é? Que vai ser a mesma coisa que 6π, o período desta função aqui vai ser 6π. Isto aqui realmente bate com a nossa intuição, de que este gráfico aqui será três vezes mais lento que este gráfico aqui, onde antes o período durava 2π, agora vai durar 6π, três vezes mais. Para qualquer valor do "x" que eu tome aqui, eu sempre divido esse valor por 3, por isso que essa função vai ser três vezes mais lenta, como eu já falei. Só para você ter um exemplo aqui, né, para eu ter 2π neste caso aqui do cos (⅓)x, esse "x" tem que valer 6π, pois aí quando eu dividir por 3, isso vai dar 2π, e aí, sim, completa um ciclo, sim ou não? Aí aqui vai ser o seguinte, nesta função aqui, quando "x" for zero, o cosseno de zero vai ser igual a 1, então um pontinho vai estar aqui. Da mesma forma, se esse "x" aqui for 6π, o cos (⅓) 6π vai ser a mesma coisa que o cos 2π, que dá igual a 1, então um pontinho aqui vai ficar nesta altura, certo? Agora, se eu quiser saber um valor aqui no meio deste intervalo, digamos, onde aqui eu peguei o valor de π, para eu ter π aqui, o "x" tem que valer 3π, é ou não é? Já que 3π dividido por 3 vai dar π, e o cos π vai ser igual a -1. Então vai estar o pontinho aqui, ó. 3π está aqui, né? Então um pontinho vai estar aqui no -1. Daí esse gráfico vai parecer mais ou menos com isto aqui. Fazendo o meu melhor aqui para o gráfico sair direitinho, mas é mais ou menos isto aqui. Certo? Daí quando você compara este gráfico aqui com este gráfico aqui, o que você percebe é que este gráfico do cos x é como se ele tivesse esticado, é ou não é? Olha aqui, ficou desta forma aqui. Ele não ficou tão agudo como ele está aqui, ele ficou mais lento, mais esticado, sim ou não? E esse fator aqui de "esticamento" é igual a 3, já que este gráfico aqui demora três vezes mais para atingir um ciclo em comparação a este aqui. O período deste gráfico aqui, como a gente pôde perceber, este período é igual a 2π. Já o daqui é 6π, três vezes mais. Muito bem, agora eu só falta uma única transformação para que eu atinja esta função aqui, né? Você repara que esta função está sendo multiplicada por -2,5. Portanto, vamos tentar desenhar o gráfico desta função. Vamos lá. Deixa eu só colocar aqui novamente os valores, aqui é π, 2π, 3π, 4π está aqui, 5π e 6π aqui. Lembrando que o nosso objetivo agora é sair deste gráfico aqui de cima e desenhar o gráfico de "y" = -2,5 vezes o cos (⅓)x. Antes de fazer este gráfico aqui, eu quero apenas observar mais uma coisa. Qual foi a amplitude destes dois gráficos? Então vamos escrever aqui qual foi a amplitude. A amplitude nos dois gráficos. A amplitude aqui foi igual a quanto? Pois bem, a amplitude tem duas maneiras de você descobrir. Olha, ela vai ser a metade desta variação aqui entre o ponto máximo e o ponto mínimo, e nos dois casos, tanto neste quanto neste, o máximo é 1 e o mínimo é -1, portanto esta diferença aqui vai ser de 2, logo a amplitude vai ser igual à metade disso, vai ser igual a 1. Ou você pode simplesmente dizer que a amplitude é igual ao módulo deste coeficiente aqui. Aqui não aparece, mas é como se tivesse 1 vezes o cos x e aqui, 1 vezes o cos (⅓)x, então isto aqui vai ser igual a módulo de 1, que também é 1. Mas e agora neste caso aqui? Qual vai ser a amplitude desta função? Vai ser o valor absoluto de -2,5, então a amplitude, neste caso aqui, vai ser igual ao módulo de -2,5, que é a mesma coisa que 2,5. E agora, o que será que significa multiplicar este gráfico aqui por -2,5? Vamos ver. Ora, se eu tivesse multiplicando por +2,5, os pontos de máximo e de mínimo seriam multiplicados por 2,5, estariam mais em cima aqui e mais embaixo, certo? Só que este fator aqui é de -2,5, então, além destes pontos irem para cima e para baixo, eles vão se inverter, onde eu tenho este ponto aqui em cima, quando multiplicar por um número negativo, ele vai vir para baixo, e vice-versa, o que está embaixo, vai para cima. Nós vamos analisar isso, olha só. Quando "x" for zero, o cosseno de zero vai ser igual a 1, nós colocamos aqui, só que quando eu multiplicar aqui por -2,5, 1 vezes -2,5 vai dar -2,5, então vai estar aqui embaixo, -2,5 está aqui. Então um pontinho vai estar aqui. Repare que antes estava no 1, agora está -2,5. Eu já sei agora que este ponto aqui vai ser um ponto de mínimo, então vou fazer esta linha aqui para nos ajudar. Ora, já este ponto aqui, quando o cosseno vai dar zero, não importa para qual número multiplica, ele continua dando zero, então vai passar também por este ponto aqui. Já aqui, quando o cosseno dá -1, que no caso deste gráfico aqui foi o cosseno quando "x" vale 3π, e aí nós vamos ter cos π, que vai ser -1, aqui eu vou multiplicar o -1 por -2,5, e -1 vezes -2,5 vai dar +2,5, que vai estar por aqui. Aqui está o +2,5. Vamos desenhar esta linha aqui de cima, que vai ser o nosso limite superior. E agora, este ponto que antes estava aqui no -1 vai estar lá em cima, vai estar aqui, no 2,5. Da mesma forma aqui, o cosseno era zero, então passou por este ponto, aqui vai passar pelo mesmo ponto, já que multiplicar zero por qualquer coisa dá zero. E o nosso último ponto, onde aqui era 1, o cosseno quando "x" vale 6π foi igual a 1, neste caso aqui quando multiplicarmos por -2,5, vai dar -2,5, vai estar aqui embaixo. Vai estar aqui o ponto. E agora, quando eu fizer este gráfico, o gráfico vai parecer com isto aqui que eu estou desenhando, né? Vai ficar com este aspecto aqui. Tranquilo? Então você agora pode perceber o que aconteceu. Quando calculei o cos x, deu este gráfico aqui, o cos (⅓)x, este gráfico deu uma esticada, ficou três vezes mais lento. E aqui, se eu multiplicasse, por exemplo, este gráfico aqui por +2,5, este ponto 1 iria para cima até o 2,5, só que como foi uma multiplicação por -2,5, além de ir para cima, na verdade, ele vai inverter e vai vir aqui para baixo, foi o que aconteceu aqui. Como você pode reparar, a amplitude aqui vai ser de 2,5. Olha, aqui também, 2,5. Uma outra maneira de perceber isso é verificar que a diferença entre esses dois aqui, o ponto de máximo e de mínimo é de 5 e a metade de 5 é 2,5. Portanto, novamente, se nós tivéssemos multiplicado este gráfico aqui por +2,5, o gráfico seria mais ou menos assim. É ou não é? Teria mais ou menos este aspecto aqui. Mas como a multiplicação foi por -2,5, ele não teve este formato aqui, na verdade, ele teve este formato, só que invertido. Olhe aqui, é como se fosse um reflexo disso. Daí você repara que a amplitude é 2,5 também, mas este gráfico de baixo é um reflexo do que seria este daqui de cima. Até o próximo vídeo!