Modelo de área para multiplicação de polinômios com termos negativos

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos realizar multiplicações polinomiais com temos negativos utilizando áreas. Mas antes disso, vamos relembrar como multiplicamos utilizando dois termos positivos, ou seja, vamos multiplicar (x mais 7) por (x mais 3) utilizando o modelo de área que já vimos. Ou seja, temos um retângulo aqui e vamos tentar dividi-lo ao meio, em que esse comprimento vai ser a primeira soma, ou seja, x mais 7. Com isso esse pedacinho vai ser x e esse outro vai ser 7, ou seja, todo esse comprimento é igual a x mais 7. A altura desse retângulo vai ser x, que é esse pedaço, mais 3, que é esse aqui. Esse modelo de área nos ajuda a calcular essas multiplicações de forma separada porque a área total do retângulo vai ser esse comprimento, que é x mais 7, esse (x mais 7) aqui vezes a sua altura, que é x mais 3, esse (x mais 3) aqui. Mas, claro, podemos dividir esse retângulo maior em quatro retângulos menores. Na verdade, esse retângulo é um quadrado e área dele vai ser x vezes x, que é x². A área desse retângulo vai ser 7x, ou seja, 7 vezes x. A área desse quadrado vai ser 3x e área desse aqui vai ser 3 vezes 7, que é igual a 21. Se somarmos todas essas áreas, vamos ter o produto que estamos procurando, ou seja, x² mais 7x mais 3x mais 21. Essa é a área do retângulo maior. E claro, ainda poderíamos adicionar esse 7x com esse 3x, mas não é o caso dessa aula. Eu só queria dar uma relembrada nisso. Ok, então quando temos (x mais 7) que multiplica (x mais 3) fica bem fácil porque temos comprimentos positivos e então vai dar uma área positiva, correto? Mas e se não fosse bem assim? Se estivéssemos lidando com números negativos, o que faríamos? Por exemplo, se agora você tiver essa multiplicação aqui, que é (x menos 7) que multiplica (x menos 3), será que conseguiríamos fazer do mesmo jeito? Vamos lá. Pensando da mesma forma, esse lado aqui, esse comprimento, vai ser igual a (x menos 7), correto? Geralmente não consideramos comprimentos negativos porque isso é meio estranho, mas para continuar a aula vamos aceitar por ora. Essa altura vai ser (x menos 3). Aqui o x, que equivale a esse pedacinho do retângulo, e aqui -3 e se continuarmos fazendo, a área desse quadrado vai ser x², a área desse retângulo vai ser esse comprimento vezes esse, ou seja, -7 vezes x, que dá -7x, a área desse quadrado vai ser -3x e área desse retângulo vai ser -3 que multiplica -7, que vai ser igual a 21. Se quisermos saber a área desse retângulo maior, basta somarmos as subáreas que estão dentro dele, ou seja, x² menos 7x menos 3x mais 21. Se quisermos ainda podemos juntar esses dois termos e ficaríamos com menos 10x. Mas a minha pergunta é: isso faz algum sentido? Sim, faz, porque uma maneira de pensar nisso é que estamos retirando uma pequena parte de área da área total e note que se x for positivo, essa área aqui vai ser negativa, o que está indicando que estamos subtraindo do total. É isso que está acontecendo nessa expressão. Você pode ter um x aqui negativo que vai dar um produto negativo de qualquer maneira, mas isso só está indicando que está retirando do total. Só para você ver que isso funciona, mesmo tendo um número negativo aqui de fato, sem o x, que pode mudar, eu vou colocar um exemplo aqui em que x é igual a 10. Se x fosse igual a 10, teríamos um modelo de área mais ou menos assim. Aqui (10 menos 7) que multiplicamos por (10 menos 3). Bem, pode ser que você pense: "Espere aí. 10 menos 7 dá 3, e 10 menos 3 dá 7. E se multiplicarmos vamos ficar com essa área aqui, que é igual a 21". É um bom pensamento, mas será que acontece isso de fato? Vamos lá. Essa área aqui vai ser 10 vezes 10, que vai dar 100, a área nesse outro retângulo vai ser 10 vezes -7, que dá -70 (e isso significa que vamos tirar 70 da área total), a área desse retângulo vai ser -3 vezes 10, que vai ser igual a menos 30, e menos 3 vezes -7 vai dar a área desse retângulo, que vai ser igual a 21. Pegamos 100, subtraímos 70, depois subtraímos 30 e depois adicionamos o 21. 100 menos 70 dá 30, menos 30 vai dar zero e então sobra só esse 21 aqui, ou seja, bateu com aquele pensamento inicial. Você também pode pegar essa área aqui, mover para cá e subtrair da área azul e ainda pode pegar esse retângulo, colocar na vertical, e aí você vai subtrair o resto da área azul e vai ficar somente com essa área aqui. A lição dessa aula é: modelos de áreas também funcionam para multiplicações de polinômios com temos negativos. Eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!