RKA - Neste vídeo,
vamos aprender divisão polinomial. Algumas vezes, chamada de
divisão algébrica longa. Mas, vocês vão ver sobre o que eu estou falando, quando fizermos alguns exemplos. Digamos que apenas quero dividir
2x mais 4. Dividir isso por 2. Não estamos realmente alterando o valor, estamos apenas alterando como vamos expressar o valor. Portanto, já sabemos como simplificar.
Já fizemos isso antes. Podemos dividir o numerador
e o denominador por 2, e isso seria igual a quê?
Isso seria igual a x mais dois. Deixa eu escrever assim:
será igual a... Se dividirmos por 2, ele se torna 1x.
Dividindo 4 por 2, teremos 2. Se dividimos o 2 por 2, teremos 1.
Isso é igual a: x mais 2, que é bastante simples,
eu acho. Outra forma, é que podemos fatorar esse 2 aqui,
depois seriam cancelados, mas vou mostrar também como fazer isso usando divisão algébrica longa, que é um pouco exagerado para
esse problema. Mas só quero mostrar que não é
em si, nada de novo. Só é um modo diferente de fazer as coisas.
Mas é útil para problemas mais complicados. Podemos também escrever isso como:
2 cabe em "2x mais 4" quantas vezes? E fazemos isso da mesma forma que fazemos na divisão longa tradicional. Diríamos 2...
(sempre iniciamos com o termo de mais alto grau). 2 vai caber no termo de mais alto grau,
ignoramos o 4. 2 cabe em 2x quantas vezes? Bom. Cabe em 2x “x” vezes,
e colocamos o “x” no lugar do “x”. X vezes 2 é 2x,
exatamente como na divisão longa tradicional. Agora subtraímos. 2x mais 4 menos 2x dá quanto?
É 4, certo? 2 cabe em 4 quantas vezes?
Cabe 2 vezes. 2 vezes. Vamos colocar no local de constantes dos termos independentes de x.
2 vezes 2 é 4. Subtraímos restando o zero. Isso parece bastante simples para um problema que provavelmente a gente já sabe fazer, e fazemos em poucas etapas. Vamos ver que esse é um processo generalizado, a gente pode fazer isso para um polinomial de qualquer grau dividindo por outro polinomial de qualquer grau. Vou mostrar sobre o que eu estou falando. Digamos que queremos dividir
o polinômio "x mais 1", x ao quadrado mais 3, x mais seis por x mais 1. O que fazemos aqui? Ver o termo de grau mais alto aqui,
que é um x. Vamos ver o termo de mais alto grau aqui,
que é um x². Podemos ignorar todo o resto.
Isso realmente simplifica o processo. Dizemos que x cabe em x²
quantas vezes? Bom, x² dividido por x é
apenas x, certo? X cabe em x² “x” vezes.
Colocamos no lugar do x. Este é o lugar do x aqui, é o lugar de x elevado à primeira. X vezes x mais 1, é quanto?
X vezes x é x². X vezes 1 é x,
então é x² mais x. Como fizemos aqui,
agora vamos subtrair, e temos o quê? X² mais 3x mais 6 menos x². Vamos ter cuidado, isso é menos x² mais x.
Quero ter certeza de que o sinal negativo apenas se aplica a tudo isso. X² menos x², um cancela o outro, 3x.
Isso vai ser um sinal de menos x. Vamos por este sinal aqui. Isso é menos x² menos x. Para ser bem claro, estamos subtraindo tudo. 3x menos x é 2x, depois descemos o 6,
ou 6 menos zero, é 6. Portanto, 2x mais 6. Agora, veja o termo de maior grau.
1x e um 2x, quantas vezes x cabe em 2x? Cabe duas vezes. 2 vezes x é 2x.
2 vezes 1 é 2. 2 vezes 1 é igual a 2. Então, a gente tem 2 vezes
x mais 1. É 2x + 2, mas queremos subtrair isso
disso aqui em cima. Então vamos subtrair:
em vez de escrever 2x mais 2, a gente pode apenas escrever menos 2x menos 2, depois somá-los. Esses se cancelam.
6 menos 2 é 4. Quantas vezes x cabe em 4? Podemos apenas dizer que é zero vezes.
Podemos dizer que 4 é o resto. Podemos dizer, portanto, que a divisão não foi exata.
Se a gente quiser reescrever x² mais 3x mais 6 sobre x mais 1. Observe, isso é o mesmo que:
x² mais 3x mais 6 dividido por x mais 1. Isso dividido por isso,
e podemos dizer que é igual a x mais 2. X mais 2 é igual a x mais o resto dividido por x mais 1.
Mais 4 sobre x mais 1. Isso aqui e isso aqui são equivalentes. Se quiser conferir, se quiser chegar disso àquilo,
o que pode fazer é multiplicar isto por x mais 1 sobre x mais 1 e depois acrescentar o 2.
E isso é o mesmo que x mais 2. Ou apenas multiplicar isso vezes x mais 1
sobre x mais 1. Apenas multiplicamos isso por um, depois acrescentamos 4 sobre x mais 1. Fazendo isso,
temos o mesmo denominador comum. Quando fazemos esta adição, ou seja,
quando multiplicamos esses dois binômios, acrescentamos o 4 aqui em cima. Teremos x² mais 3x mais 6. Vamos fazer mais um.
Isso é bem legal. Digamos que a gente tem...
queremos simplificar, x² mais 5x mais 4 sobre x mais 4. Mais uma vez, podemos fazer nossa
divisão algébrica longa. A gente pode dividir x mais 4. Desculpa...
x mais 4 X² mais 5x mais 4. E, mais uma vez,
exatamente o mesmo processo. Veja esses termos de grau mais alto nos dois. X cabe em x² quantas vezes?
Cabe x vezes. Coloque isso no lugar de x. Esse é o lugar de x. X vezes x é x². X vezes 4 é
4x. E, claro, vamos subtrair
esse desse. Vamos colocar um sinal negativo aqui. Agora, isto é cancelado. 5x menos 4x é x.
4 menos 0 é 4. X mais 4, e aí podemos ver isso acontecer. Digamos que x mais 4 cabe em x mais 4. Obviamente, cabe apenas uma vez. Ou, se não estivermos olhando para os termos constantes, diremos exatamente que... Bom, x cabe em x quantas vezes?
Uma vez. Mais 1. 1 vez x é x.
1 vezes 4 é 4. Vamos subtraí-los daqui, depois se cancelam e não teremos resto. Isso aqui é simplificado a... isto é igual a x mais 1. Há outras formas de fazer isso.
Podíamos tentar fatorar esse numerador. X² mais 5x mais 4 sobre x mais 4.
Isso é igual a quanto? Poderíamos ter fatorado o numerador como
x mais 4 vezes x mais 1. 4 vezes 1 é 4.
4 mais 1 é 5. Tudo sobre x mais 4. Este cancela,
e ficamos com x mais 1. De qualquer forma, teria funcionado.
Mas, essa divisão algébrica longa sempre funciona, mesmo se a gente não puder cancelar os fatores assim, mesmo se ficar um resto. Nesta situação não tivemos,
portanto, isso é igual a x mais 1. Vamos fazer mais um desses, só para ter certeza de que realmente... porque isso é uma habilidade muito, muito útil para ter como ferramenta. Vamos supor que temos x²... (Deixa eu alterar aqui). Vamos supor que temos 2x². Poderia inventar esses números na hora. 2x² menos 20x mais 12 dividido por... Na verdade, vamos tornar isso mais interessante, só para mostrar que sempre funciona. Eu quero ir além da quadrática. Vamos supor que temos 3x³ menos 2x² mais 7x menos 4, e queremos dividir isso por x² mais 1. Acabei de inventar essa. Mas podemos fazer apenas a divisão algébrica longa para calcular quanto vai ser, quanto vai ficar com a simplificação. X² mais 1 dividido por isto aqui. 3x³ menos 2x² mais 7x menos 4. De novo, veja o termo de grau mais alto.
X² cabe em 3x³ quantas vezes? Vai caber 3x vezes. Multiplicamos 3x vezes isso,
e temos 3x³. Vai caber 3x vezes. Temos que escrever 3x aqui nos termos x,
assim vai caber 3x vezes, dessa forma. Vamos multiplicar. 3x vezes x² é 3x³. Certo?
3x vezes x² mais 3x vezes um. A gente tem um 3x aqui. Estou me assegurando de que vai ficar no lugar de x. Queremos subtraí-los. Temos o quê? O que temos quando fazemos isso? Estes se cancelam,
temos menos 2x² 7x menos, porque... subtraí zero daqui.
7x menos 3x é mais 4x. E temos menos 4. Mais uma vez, vamos ver o termo de grau mais alto. X² e menos 2x². X² cabe em menos 2x²,
menos duas vezes, menos 2 colocamos no lugar da constante, menos 2 vezes x² é igual a menos 2x².
Menos 2 vezes 1 é menos 2. Agora, queremos subtrair esses dali. Depois, vamos multiplicá-los por menos um. Eles se tornam positivos. Cancelamos esses aqui...
4x menos zero é... (Vamos mudar as cores.) 4x menos 0 é 4x. Menos 4 mais 2,
ou menos 4 mais 2, é igual a menos 2x². Agora, tem um grau mais alto que 4x, é o grau mais alto aqui. Portanto, vemos isso como o resto. Podemos reescrever esta expressão
como sendo igual a: 3x menos 2. Esse é o 3x menos 2. Mais o nosso resto 4x menos 2, tudo isso sobre x² mais 1. Espero que tenham achado isso
tão divertido quanto eu achei. Fui!