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Divisão de expressões do segundo grau por expressões lineares com resto: termo x desconhecido

Um caso interessante na divisão polinomial é quando falta um dos termos. O vídeo explica como dividir uma expressão de segundo grau, como (x²+1), por uma linear, como (x+2). São mostrados dois métodos: reexpressar o numerador e usar divisão algébrica longa. Ambos os métodos levam à mesma resposta.

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Transcrição de vídeo

RKA22JL - E aí, pessoal? Tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar falando a respeito de divisão de polinômios, mas, dessa vez, nós vamos dividir um polinômio quadrático por um polinômio linear, de modo que a divisão tenha um resto. Vamos ver isso de duas formas. Eu tenho a seguinte divisão: x ao quadrado mais 1, dividido por x mais 2. A primeira forma é fatorar esse numerador, de modo que apareça algum polinômio do primeiro grau que eu possa cancelar com esse x mais 2. Basicamente, tem que aparecer um x mais 2 aqui no numerador. E como podemos fazer isso? Esse numerador não é tão fácil de fatorar. Por causa disso, vamos começar olhando para esse denominador, e a melhor maneira de fazer isso é construir uma diferença de quadrados aqui. Isso porque nós sabemos que x mais 2, que multiplica x menos 2, é igual a x ao quadrado menos 4. E para aqui ficar com o -4, o que teríamos que fazer? Teríamos que subtrair 5. Isso porque 1 menos 5 é igual a -4. Ou seja, podemos reescrever x ao quadrado mais 1 como x quadrado menos 4 mais 5, e isso dividido por x mais 2. Essa expressão é equivalente a essa aqui. Dá o mesmo resultado. Isso porque -4 mais 5 vai ser 1. Mas por que fazemos isso? Simples. Agora, podemos associar esse x ao quadrado menos 4, e sabemos que x ao quadrado menos 4 é igual a x mais 2, que multiplica x menos 2. Então, ficamos com x mais 2, que multiplica x menos 2, mais 5, dividido por x mais 2. E podemos reescrever essa expressão como x mais 2, que multiplica x menos 2, dividido por x mais 2, mais 5, dividido por x mais 2. E eu posso até colocar esse 5 de roxo, também. Então, mais 5 dividido por x mais 2. E, fazendo isso, nós podemos cancelar esse x mais 2 com esse aqui. E aí, ficamos com x menos 2, mais 5 dividido por x mais 2. E, claro, esse x tem que ser diferente de -2, mas por quê? Como sabemos, um denominador não pode ser zero, correto? Se colocarmos -2 aqui no lugar desse x, vamos ficar com -2 mais 2, que vai ser zero. Com isso, vamos ficar com 5 dividido por zero, o que não é possível resolver. Se dividirmos x ao quadrado mais 1 por x mais 2, vamos encontrar x menos 2 e vamos ter o 5 como o resto. Uma outra forma de realizar essa divisão é aplicar um algoritmo. Nós colocamos o x ao quadrado mais 1 aqui, e dividimos por x mais 2. E como podemos fazer isso? Pegando o x ao quadrado e dividindo por x, que é igual a x. Pegamos esse x e multiplicamos por x e, depois, por 2, e x vezes x é igual a x ao quadrado, e colocamos aqui com o sinal invertido. Ou seja, -x ao quadrado. Sim, o algoritmo é, basicamente, esse. Você pega o valor daqui, multiplica por todo mundo daqui e vai trazendo, colocando aqui com o sinal contrário. Ou seja, x vezes 2 dá 2x, e trazemos para cá como -2x. Agora, somamos os polinômios. Esse x ao quadrado se cancela com esse –x ao quadrado e repetimos o -2x e abaixamos o 1. Claro, eu coloquei direto o -2x, porque não havia nenhum coeficiente com x. Na verdade, até havia, que era o zero, mas não faz diferença alguma. Note que o grau desse polinômio é 1 e o grau de x mais 2 também é 1. Significa que eles são iguais. Então, podemos continuar a divisão. Se o grau desse aqui fosse menor que desse, não poderíamos. -2x dividido por x é igual a -2. Aí, pegamos o -2 e multiplicamos por x, que vai dar -2x. Mas colocamos aqui com o sinal contrário, ou seja, +2x. Agora, pegamos o -2 e multiplicamos por 2, que dá -4, e colocamos aqui como +4. E, se somarmos os polinômios do primeiro grau, vamos cancelar esse -2x com esse 2x, e 1 mais 4 é igual a 5. Ou seja, esse aqui é o resto, e é o mesmo resto que tínhamos encontrado aqui. E eu espero que essa aula tenha ajudado vocês, e até a próxima, pessoal!