Divisão de expressões do segundo grau por expressões lineares com resto

RKA3JV - Olá, tudo bem com você? Você vai assistir agora a mais uma aula de matemática. E, nesta aula, vamos conversar sobre a divisão de funções quadráticas por funções lineares que possuem um resto. Para pensar sobre isso, vamos supor que a gente queira resolver esta expressão aqui: x² + 5x + 8 sobre x + 2. Vamos dizer que a gente queira obter uma forma simplificada deste cálculo. Ou seja, qual é a simplificação de x² + 5x + 8 dividido por x + 2? Pause este vídeo e veja se você consegue fazer isso. Bem, existem duas formas diferentes de resolver isso. Podemos tentar fatorar nosso numerador e ver se temos um fator em comum com o denominador, ou podemos tentar realizar uma divisão algébrica. Primeiro, vamos tentar fatorar este numerador. Bem, de forma ideal, nós desejamos que x + 2 seja um dos fatores. Para este caso, podemos fazer essa fatoração encontrando os 2 números em que, ao somá-los, encontraremos o 5, e ao multiplicá-los, encontraremos o 8. Como queremos que x + 2 seja um dos fatores, o 2 tem que ser um destes números. Sendo assim, eu posso pensar em 2 e 3, afinal 2 + 3 = 5. Porém, 2 vezes 3 vai ser igual a 6, não 8. O problema é que eu não consigo pensar em mais nada além destes dois números. Bem, mesmo que isso não seja o resultado correto, ainda podemos ter algum progresso com isso, porque a gente pode reescrever parte disso aqui. A gente pode escrever esta expressão aqui no numerador, por exemplo, colocando x² + 5x. E aí, em vez de colocar +8, a gente pode colocar + 6 + 2, que é a mesma coisa. E aí, sem dúvidas, x² + 5x + 6 é divisível por x + 2. E toda esta parte aqui vai ser divisível por x + 2. Agora, sim, podemos reescrever esta parte aqui como (x + 2) vezes (x + 3). Então, vamos fazer isso aqui agora. (x + 2) vezes (x + 3). E eu ainda tenho +2 aqui no numerador. Tudo isso sobre x + 2. Mas eu ainda posso escrever isso como esta parte aqui sobre x + 2. E mais esta parte aqui sobre x + 2. Tudo o que eu fiz aqui foi dizer: ei, se eu tenho algo mais algo sobre x + 2, eu posso ter a primeira coisa sobre x + 2, mais a segunda coisa sobre x + 2. Aí, sim, podemos dizer aqui: ei, nesta primeira parte contando que o "x" não seja igual a -2, porque aí estaríamos mudando o domínio, podemos cancelar estas duas partes. Podemos dizer que estamos dividindo o numerador e o denominador por x + 2. E aí, isso vai ser igual a x + 3, mais, eu não preciso mais colocar os parênteses aqui, ok? Mas eu vou deixar apenas por uma questão estética. mais 2, sobre x + 2. Ah, eu preciso restringir o domínio. Então, isso é para x ≠ -2. Nós dividimos tanto quanto a gente pôde, já que a gente não pode fazer mais nada com este 2 dividido por x + 2. Portanto, nesta situação, tivemos um resto. Então, por isso que nós nos referimos ao 2 como o resto. Isso não foi muito difícil, mas também não foi tão simples. E veremos que esta é uma situação onde a divisão algébrica, na verdade, é um pouco mais simples. Então, vamos tentar fazer desta forma. Mais uma vez, faça uma pausa e veja se você pode descobrir como fazer esta divisão de forma algébrica. Bem, nós podemos pegar o x² + 5x + 8 e dividir por x + 2. Inicialmente, dividimos o x² por "x". Aí, teremos aqui o "x". Multiplicando "x" com "x", teremos x², certo? Multiplicando "x" por 2, teremos 2x. Então, aqui temos x² + 2x. Subtraímos o que temos em cima, com o que encontramos. Anulamos o x². E aí, ficamos apenas com 5x - 2x, que é 3x. Aí, colocamos o 8 aqui embaixo. Agora, dividimos o 3x com "x". Com isso, ficamos apenas com +3 aqui. Multiplicando o 3 com o "x", teremos 3x aqui. E multiplicando 3 com 2, teremos 6. Subtraindo o que a gente tinha com o que temos agora, anulamos o 3x e ficamos apenas com 8 menos 6, que é 2, que, diga-se de passagem, é o nosso resto. Agora, mais uma vez, se você quiser reescrever a expressão inicial e trabalhar nela, pegamos o nosso resultado aqui, o nosso resto, e, com isso, chegaremos exatamente à mesma coisa. x + 3 mais o nosso resto que é 2, sobre x + 2. Não esquecendo, claro, de restringir o domínio, da forma que fizemos antes. Enfim, eu espero que você tenha compreendido tudo o que fizemos aqui. E, mais uma vez, eu quero deixar para você um grande abraço, e até a próxima!