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Teorema do resto: cálculo de coeficientes

Neste vídeo, determinamos o valor do coeficiente c em p(x)=x^3+2x^2+cx+10, para que (x-5) seja um fator de p. A dica é usar o teorema do fator.

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Transcrição de vídeo

RKA - Bom, para qual ou quais valores de "c" o “x - 5” vai ser um fator dessa expressão aqui? Então, vamos lá, vamos escrever essa pergunta aqui: para quais ou qual (né?) valor de "c" “x - 5” é fator da "p(x)"? Então, eu te encorajo, agora, a pausar o vídeo e tentar você primeiro fazer e responder, então, a essa pergunta. Pois bem, assumindo que você já tentou fazer, vamos lá, vamos fazer agora juntos. Dizer que o “x - 5” é fator da "p(x)", isso significa que eu posso reescrever aquela "p(x)" ali da seguinte maneira: como sendo "x - 5" (aquele “x - 5” ali que estou afirmando que é um fator) multiplicado por alguma outra coisa (alguma outra coisa que eu coloque aqui dentro). Então, digamos, que algum outro polinômio... sei lá... "g(x)", por exemplo. Então, "x – 5” vezes a "g(x)". Ora, se eu estou afirmando que o "x - 5" é um fator desse polinômio, isso quer dizer que a minha "p(5)", se eu colocar no lugar do "x" aqui o 5, calcular a "p(5)", isso quer dizer que esse "p(5)" vai ser igual a zero. O 5, ele é raiz desse polinômio aqui. Ou seja, colocando aqui o 5, aqui eu colocaria um 5 aqui dentro, aqui eu teria “5 – 5” e aqui eu teria 5 também. E, aí, não me importa quanto seja o "g(5)", isso aqui vai ser zero. Logo, a "p(5)" vai ser igual a zero, beleza? Logo, eu posso escrever aqui que se o “x - 5”, ele é fator... “x - 5” é fator se e somente se, ou seja, uma bicondicional aqui (se e somente se), aquela minha "p(5)" ali... ou seja, vou dizer que o "p(5)" é raiz desse polinômio, então se e somente se esse "p(5)" for igual a zero. Bom, se eu sei que a "p(5)" é igual a zero, eu posso muito bem colocar a "p(5)" aqui, substituir o 5, e depois encontrar o valor do "c". Olha aí. Logo, então, podemos reescrever aquilo ali como sendo a "p(5)” vai ser igual a "x³"... que o "x" agora vai ser 5, então 5³ dá 125 (5 vezes 5 vezes 5, né?). Aqui, eu vou ter mais 2 vezes o "x²", ou seja, 2 vezes 5² vai dar 50 (5² é 25 e o dobro de 25 é 50), mais... colocando o 5 aqui vai ficar 5 vezes "c", né? Então, "5c", mais o 10, tudo isso tem que ser igual a zero. Agora, eu posso muito bem somar esses valores aqui, "125 + 50 + 10", isso vai me dar 185. 185, então, mais o "5c"... (está ali, eu não mexi com ele ainda)... mais o "5c" vai ser igual a zero. Eu posso, agora, subtrair 185 em ambos os lados, e eu vou ter que o "5c" vai ser igual a -185... deixa eu só fazer aqui na cor correta... -185. E, então, eu posso escrever aqui, continuando aqui do lado, que o "c", ele é igual a -185 dividido por 5, né? O 5, ele vai passar dividindo; eu divido ambos os lados por 5. Logo, -185 dividido por 5 vai dar um número negativo. E 185 dividido por 5 dá quanto? Quantas vezes o 5 cabe lá dentro do 185? Ora, 5 vezes 30 dá 150, então 150 mais 35 é que vai dar 185. Então 5 vezes 7 dá 35. Logo, vai ser 37... -37 o valor do "c". Vamos verificar aqui, 5 vezes 30, 150; 5 vezes 7, 35; 150 com 35, 185; está certinha a nossa conta. Então, -37 vai ser o valor do "c" para que o "x - 5" seja fator. Logo, a minha "p(x)" vai ser igual "x³ + 2x² - 37x + 10”. Até o próximo vídeo.