Prova do Teorema do Resto Polinomial

RKA - Nesse vídeo, vamos fazer uma demonstração do teorema do resto polinomial. E só para tornar isso daqui um pouco mais tangível para você, vamos começar com um exemplo que eu fiz aqui no outro vídeo. A gente pegou esse polinômio aqui: "3x² - 4x + 7” e dividiu por "x - 1”. Então, o quociente deu "3x - 1” e o resto deu 6. E como eu sei quando eu cheguei no resto dessa divisão polinomial aqui? Ora, o resto, ele sempre é um polinômio com grau inferior ao do divisor. Então, aqui, esse "x" como está elevado a 1, esse resto aqui tem grau zero. É como se fosse 6 vezes "x⁰", né? E, então, eu posso reescrever esse mesmo polinômio aqui, já que eu fiz essa divisão, da seguinte maneira: vê se eu não posso fazer isso aqui... eu posso colocar "3x² - 4x + 7” como sendo igual a esse quociente aqui. Ou seja, "3x - 1” vezes esse divisor. Sim ou não? Quando eu multiplicar isso daqui (né?) eu deveria retornar para esse mesmo polinômio; claro, depois de acrescentar o resto. Então, vamos lá. Eu vou multiplicar por "x - 1” e, aí, obviamente, como eu falei, se eu fizer essa multiplicação aqui, a distributiva, eu não vou retornar para esse polinômio. Para eu retornar para esse polinômio aqui, eu tenho que somar o resto. Então, vou somar aqui com aquele 6. E essa analogia aqui, que nós fizemos com o polinômio, é exatamente a mesma de uma divisão numérica normal. Por exemplo, deixa eu mostrar para você aqui. Se eu tivesse 25 dividido por 4, como é que eu faria essa divisão aqui? Ora, 25 dividido por 4, vai dar igual a 6 (6 vezes 4 dá 24). Quando eu subtrair aqui vai dar resto; quanto? Resto 1. E, aí, eu posso dizer o seguinte: eu posso dizer que aquele 25 ali, ele é igual a 6 vezes 4, certo? 6 vezes o 4. E, aí, somo com esse resto aqui, certo? Então, vamos lá. “6‧(4) + 1”. Isso vai me dar “24 + 1”, que dá 25. E como você pode perceber, nós fizemos essa coisa aqui exatamente igual aqui embaixo; só que aqui usamos, claro, expressões algébricas, mas é exatamente o mesmo algoritmo. Mas isso aqui ainda não me prova nada; eu só fiz isso daqui para você ficar mais familiarizado com essa expressão aqui escrita dessa forma. Ou seja, quando eu pegar o polinômio original, se eu realizar a multiplicação do quociente com o divisor e somar com o resto, obviamente eu vou retornar para o polinômio original. Agora, vamos abstrair um pouquinho. Se eu considerar isso daqui nossa "f(x)", por exemplo, eu posso dizer que essa "f(x)" vai ser igual ao quociente da divisão, que eu vou chamar aqui de "q" (vai ser isso daqui). Esse aqui vai ser o nosso "q(x)" (quociente de "x", né?). Então, nossa "f(x)" vai ser o "q(x)" multiplicado pelo divisor. Então, essa aqui é a nossa "q(x)" que vai estar multiplicada pelo nosso divisor. E esse nosso divisor aqui, nós queremos que ele seja "x - a"; então, vou botar aqui "x - a". E, aí, eu vou somar com o nosso resto, que eu vou botar resto "r" aqui; tranquilo? Agora, observe. Esse resto aqui, ele sempre vai ser m número constante; é um valor constante, já que ele tem que ser num grau inferior ao divisor. Como o divisor tem grau 1, então esse resto aqui vai ter grau zero, ou seja, a mesma coisa que dizer que é uma constante. Então, isso daqui é sempre verdade de maneira geral. Sempre que eu pegar uma "f(x)" e fizer igual ao quociente da divisão daquela "f(x)" por "x - a", multiplicado pelo "x - a" mais o resto, eu vou ter essa relação aqui, tranquilinha, e o "r" aqui vai ser uma constante. Então, posso dizer que isso daqui é sempre verdade para todo "f(x)" e também "x - a". Agora, o que que vai acontecer aqui se nós calcularmos a "f(a)"? Vamos ver. Se eu colocar no lugar do "x" o "a", o que que vai acontecer aqui? Eu vou ter a minha "f(a)" dessa forma aqui. Deixa eu botar só o "a" numa cor diferente aqui. E, aí, a gente vai ter o seguinte: eu vou ter aqui a minha "q(a)", certo? "q(a)"... vou botar o "a" na mesma cor... multiplicado por quanto aqui? No lugar do "x" eu vou botar o "a". Então, vou ter "a - a", concorda comigo? Então, você já está vendo para onde isso daí vai dar, né? Então, "a - a" somado ali com o resto... então, mais o resto. Agora, repara uma coisa. Não me importa qual é o valor da "q(a)". Essa "q(a)" está multiplicando por "a - a". E quanto é "a - a"? É zero. Então, quando eu fizer "q(a)" vezes zero, isso vai dar igual a zero. Concorda comigo? Aqui dá zero. Então, a minha "f(a)"... deixa eu só subir um pouquinho aqui... então, a minha "f(a)" vai ser igual a quanto? Ora, a "f(a)" vai ser igual ao próprio resto porque aqui vai dar zero. Vai me sobrar só o quê? O resto, como queríamos demonstrar. Essa daqui é, então, a demonstração do nosso teorema do resto polinomial. Ou seja, se eu pegar qualquer polinômio e calcular a divisão desse polinômio aqui por "x - a", eu sempre vou ter como resultado que a "f(a)" vai ser igual ao resto daquela divisão do polinômio por "x - a". Está claro? E, logo, como eu estou efetuando a divisão desse polinômio por "x - a", eu posso reescrever dessa forma aqui: dizendo que é igual ao quociente multiplicado pelo divisor mais o resto. E, aí, quando eu calcular a "f(a)", aqui vai dar zero e vai me sobrar apenas o resto, ou seja, "f(a)" é igual ao resto daquela divisão. E esse é o nosso teorema do resto polinomial. Uma das demonstrações mais fáceis que existe quando se trata de polinômio. Até o próximo vídeo.