Exemplos de teorema do resto

RKA4JL - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula nós vamos ver alguns exemplos do teorema do resto. Aqui eu tenho o gráfico de uma função polinomial que é y igual a P(x) e queremos saber qual é o resto da divisão de P(x) por (x mais 3). E claro, a sua resposta deve ser um número inteiro. Basicamente, aqui nós precisamos utilizar o teorema do resto. E o que ele diz? Simples. Se dividirmos P(x) por (x mais 3) e o resto dessa divisão é um r, que eu vou chamar de k, é possível chegar nesse valor de k para o valor que torna esse resultado zero. E qual é o valor que torna (x mais 3) igual a zero? -3. Com isso, se calcularmos o valor numérico de -3 nesse polinômio, ou seja, P(-3), isso vai ser igual a k, que é o resto. Esse é um meio de calcular o resto da divisão. Basicamente você olha para esse polinômio do primeiro grau, o iguala a zero, resolve essa equação, e nesse caso encontramos -3, e calculamos o valor numérico desse -3 que vai nos dar o valor do resto. Esse é o teorema do resto. Então qual é o resto da divisão de P(x) por (x mais 3)? É P(-3). Olhando o gráfico podemos ver que P(-3) é igual a -2, ou seja, k é igual a -2. Vamos fazer outros exemplos? Aqui temos que P(x) é igual a x⁴ menos 2x³ mais kx² menos 11, onde k é um número inteiro. P(x) dividido por (x menos 2) tem resto 1. Qual é o valor de k? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá, então. Essa segunda parte diz que P(x) dividido por (x menos 2) tem resto 1. O que isso significa? Nos diz que P(2) é igual a 1. Mas por quê? Simples. É só olhar para o polinômio do primeiro grau. Qual é o valor que torna ele zero? 2. Mas se não quiser adivinhar, você pode pegá-lo e colocar (x menos 2) igual a zero. Resolvendo, você descobre que x é igual a 2, ou seja, o valor que torna esse polinômio igual a zero é 2. Se nós calcularmos o "p" desse valor, que nesse caso é P(2), isso vai ser igual ao resto da divisão desse polinômio por esse aqui. Uma outra informação que o exercício dá é P(x) e podemos utilizá-lo para determinar k. Como? Substituindo esse 2 no lugar do x e igualando a 1. Se fizermos isso ficamos com 2⁴ menos 2 vezes 2³ mais k vezes 2² menos 11 igual a 1. Agora temos uma equação. Basta resolvermos e vamos encontrar o valor de k. 2⁴ igual a 16 menos... aqui, 2³ dá 8, vezes -2 vai dar -16, mais 2² dá 4, vezes k vai ser mais 4k menos 11 igual a 1. Simplificando, podemos cancelar esse 16 com esse -16 e sobra 4k menos 11 igual a 1. Se somarmos 11 a ambos os membros da equação, vamos ficar com 4k igual a 1 mais 11. Com isso ficamos com 4k igual a 12. Podemos simplificar ambos os membros dessa equação por 4 e ficamos com k igual a 12 dividido por 4, que é igual a 3. Podemos colocar aqui. Vamos lá. Vamos fazer mais um exemplo para isso ficar bem claro? Aqui temos um polinômio P(x) e também temos vários restos de quando dividimos P(x) por cada um desses polinômios do 1º grau. O que queremos saber é: qual é o valor de P(-4) e P(1)? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. Vamos lá, então. Primeiro vamos pensar no P(-4). Ele é o resto quando se divide P(x) por qual valor? Pode ser que você tenha pensado em x igual a -4, mas essa não é a resposta correta. Esse aqui é o resto quando se divide P(x) por (x mais 4). Olhando as informações, podemos ver que P(x) dividido por (x mais 4) tem um resto igual a 3, ou seja, P(-4) é igual a 3. Pensando do mesmo jeito, P(1) é igual ao resto quando se divide P(x) por (x menos 1). Olhando as informações podemos ver que quando P(x) é dividido por (x menos 1), o resto é igual a zero, ou seja, P(1) é igual a zero. Vamos fazer um último exemplo para ver se isso ficou bem claro? Temos o seguinte aqui: P(x) é um polinômio. Alguns valores de P(x) são P(-3) igual a zero, P(0) igual a -1 e P(3) igual a 5. Qual é o resto da divisão de P(x) por (x menos 3)? Eu sugiro que você pause o vídeo e tente que resolver sozinho. Sabemos, pelo teorema do resto, que o resto da divisão de P(x) por (x menos 3) é igual a P(3). Lembre-se: é só você pegar o polinômio do primeiro grau, igualar a zero, resolver, e você vai ter o valor numérico que vai lhe dar o resto. E P(3) é igual a 5, ou seja, aqui colocamos 5. Por fim, temos aqui: qual é o resto da divisão de P(x) por x? Parece que é bem simples, não é? Mas é bem capaz de nessa aqui você dar uma travadinha. Isso porque esse x pode representar (x menos zero) ou (x mais zero). Independentemente de ser um ou outro, para calcular o resto basta você calcular P(0), que é igual a -1, ou seja, aqui é -1. Eu espero que essa aula tenha ajudado e até a próxima, pessoal!