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Comportamento final de polinômios

Aprenda o que é comportamento final de um polinômio e saiba como podemos encontrá-lo a partir da equação do polinômio.
Nesta lição, você aprenderá o que é o "comportamento final" de um polinômio e como analisá-lo a partir de um gráfico ou de uma equação polinomial.

O que é "comportamento final"?

O comportamento final de uma função f descreve o comportamento do gráfico da função nas "extremidades" do eixo x.
Em outras palavras, o comportamento final de uma função descreve a tendência do gráfico se olharmos para a extremidade direita do eixo x (conforme x se aproxima do +) e para a extremidade esquerda do eixo x (conforme x se aproxima do ).
Por exemplo, considere esse gráfico da função polinomial f. Observe que, conforme você avança para a direita no eixo x, o gráfico de f avança para cima. Isso significa que, conforme x vai ficando maior, f(x) também vai ficando maior.
Matematicamente, escrevemos: conforme x+, f(x)+ (leia-se, "conforme x se aproxima do infinito positivo, f(x) se aproxima do infinito positivo").
Na outra extremidade do gráfico, à medida que avançamos para a esquerda ao longo do eixo x (imagine x se aproximando do ), o gráfico de f avança para baixo. Isto significa que, conforme x vai se tornando cada vez mais negativo, f(x) também vai ficando cada vez mais negativo.
Matematicamente, escrevemos: conforme x, f(x) (leia-se, "conforme x se aproxima do infinito negativo, f(x) se aproxima do infinito negativo").

Teste seus conhecimentos

1) Este é o gráfico de y=g(x).
Qual é o comportamento final de g?
Escolha 1 resposta:

Como determinar algebricamente o comportamento final

Também podemos determinar o comportamento final de uma função polinomial a partir de sua equação. Frequentemente, isso ajuda na hora de tentar fazer o gráfico da função, uma vez que saber o comportamento final ajuda a visualizar o gráfico nas "extremidades".
Para determinar o comportamento final de um polinômio f a partir de sua equação, podemos pensar sobre os valores da função para altos valores positivos e negativos de x.
Especificamente, respondemos às duas perguntas a seguir:
  • Conforme x+, f(x) se aproxima do que?
  • Conforme x, f(x) se aproxima do que?

Investigação: comportamento final de monômios

Funções monomiais são polinômios da forma y=axn, em que a é um número real e n é um número inteiro não negativo.
Vamos examinar algebricamente o comportamento final de vários monômios e ver se podemos tirar algumas conclusões.
2) Considere o monômio f(x)=x2.
Para valores positivos muito altos de x, o que descreve melhor f(x)?
Escolha 1 resposta:

Para valores negativos muito altos de x, o que descreve melhor f(x)?
Escolha 1 resposta:

3) Considere o monômio g(x)=3x2.
Para valores positivos muito altos de x, o que descreve melhor g(x)?
Escolha 1 resposta:

Para valores negativos muito altos de x, o que descreve melhor g(x)?
Escolha 1 resposta:

4) Considere o monômio h(x)=x3.
Para valores positivos muito altos de x, o que descreve melhor h(x)?
Escolha 1 resposta:

Para valores negativos muito altos de x, o que descreve melhor h(x)?
Escolha 1 resposta:

5) Considere o monômio j(x)=2x3.
Para valores positivos muito altos de x, o que descreve melhor j(x)?
Escolha 1 resposta:

Para valores negativos muito altos de x, o que descreve melhor j(x)?
Escolha 1 resposta:

Conclusão da investigação

Observe como o grau do monômio (n) e o coeficiente principal (a) afetam o comportamento final.
Quando n é par, o comportamento da função nas duas "extremidades" é igual. O sinal do coeficiente principal determina se ambas se aproximam do + ou se ambas se aproximam do .
Quando n é ímpar, o comportamento da função nas duas "extremidades" é o oposto. O sinal do coeficiente principal determina qual é + e qual é .
Isso está resumido na tabela abaixo.
Comportamento final de monômios: f(x)=axn
n é par e a>0n é par e a<0
Conforme x, f(x)+, e conforme x+, f(x)+.
Conforme x, f(x), e conforme x+, f(x).
n é ímpar e a>0n é ímpar e a<0
Conforme x, f(x), e conforme x+, f(x)+.
Conforme x, f(x)+, e conforme x+, f(x).

Teste seus conhecimentos

6) Qual é o comportamento final de g(x)=8x3?
Escolha 1 resposta:

Comportamento final de polinômios

Agora sabemos como encontrar o comportamento final de monômios. Mas e quanto aos polinômios que não são monômios? E quanto a funções como g(x)=3x2+7x?
Em geral, o comportamento final de uma função polinomial é igual ao comportamento final de seu termo principal, ou do termo com o maior expoente.
Sendo assim, o comportamento final de g(x)=3x2+7x é igual ao comportamento final do monômio 3x2.
Como o grau de 3x2 é par (2) e o coeficiente principal é negativo (3), o comportamento final de g é: conforme x, g(x) e, conforme x+, g(x).

Teste seus conhecimentos

7) Qual é o comportamento final de f(x)=8x57x2+10x1?
Escolha 1 resposta:

8) Qual é o comportamento final de g(x)=6x4+8x3+4x2?
Escolha 1 resposta:

Por que o termo principal determina o comportamento final?

Isso acontece porque o termo principal tem o maior efeito sobre os valores da função para valores altos de x.
Vamos explorar isso mais profundamente, analisando a função g(x)=3x2+7x para valores positivos altos de x.
Conforme x se aproxima do +, sabemos que 3x2 se aproxima do e que 7x se aproxima do +.
Mas qual é o comportamento final de sua soma? Vamos inserir alguns valores de x para descobrir isso.
x3x27x3x2+7x
1374
1030070230
10030.00070029.300
1.0003.000.0007.0002.993.000
Observe que, a medida que x fica maior, o polinômio se comporta como 3x2.
Mas suponhamos que o termo x tivesse um pouco mais de peso. O que aconteceria se, ao invés de 7x, tivéssemos 999x?
x3x2999x3x2+999x
103009.9909.690
10030.00099.90069.900
10003.000.000999.0002.001.000
10.000300.000.0009.990.000290.010.000
Novamente, vemos que, para valores altos de x, o polinômio se comporta como 3x2. Embora um valor de x maior fosse necessário para ver a tendência aqui, este ainda é o caso.
Na verdade, não importa qual seja o coeficiente de x, para valores suficientemente altos de x, 3x2 vai, por fim, assumir o controle!

Desafios

9*) Quais dos seguintes gráficos podem ser o gráfico de h(x)=8x3+7x1?
Escolha 1 resposta:

10*) Qual é o comportamento final de g(x)=(23x)(x+2)2?
Escolha 1 resposta:

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