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Gráficos de polinômios

Analise polinômios para traçar seus gráficos.

Conceitos com os quais você deve estar familiarizado antes de iniciar esta lição

O comportamento final de uma função f descreve o comportamento de seu gráfico nas "extremidades" do eixo x. Algebricamente, o comportamento final é determinado pelas duas questões a seguir:
  • Conforme x+, f(x) se aproxima do que?
  • Conforme x, f(x) se aproxima do que?
Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre o comportamento final de polinômios.
As raízes de uma função f correspondem às interceptações em x de seu gráfico. Se f tem uma raiz de multiplicidade ímpar, seu gráfico vai cruzar o eixo x naquele valor de x. Se f tem uma raiz de multiplicidade par, seu gráfico vai tocar o eixo x naquele ponto.
Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre raízes de polinômios.

O que você vai aprender nessa lição

Nesta lição, vamos usar as características acima para analisar e esboçar gráficos de polinômios. Então, usaremos o esboço para encontrar os intervalos positivo e negativo dos polinômios.

Análise de funções polinomiais

Agora, vamos analisar várias características do gráfico do polinômio f(x)=(3x2)(x+2)2.

Como encontrar a interceptação em y

Para encontrar a interceptação em y do gráfico de f, podemos calcular f(0).
f(x)=(3x2)(x+2)2f(0)=(3(0)2)(0+2)2f(0)=(2)(4)f(0)=8
A interceptação em y do gráfico de y=f(x) é (0,8).

Como encontrar as interceptações em x

Para encontrar as interceptações em x, podemos resolver a equação f(x)=0.
f(x)=(3x2)(x+2)20=(3x2)(x+2)2
3x2=0oux+2=0Propriedade do produto das raízesx=23oux=2
As interceptações em x do gráfico de y=f(x) são (23,0) e (2,0).
Nosso trabalho também mostra que 23 é uma raiz de multiplicidade 1 e que 2 é uma raiz de multiplicidade 2. Isso significa que o gráfico vai cruzar o eixo x em (23,0) e tocar o eixo x em (2,0).

Como encontrar o comportamento final

Para encontrar o comportamento final de uma função, podemos examinar o termo principal quando a função estiver escrita na forma padrão.
Vamos escrever a equação na forma padrão.
f(x)=(3x2)(x+2)2f(x)=(3x2)(x2+4x+4)f(x)=3x3+12x2+12x2x28x8f(x)=3x3+10x2+4x8
O termo principal do polinômio é 3x3, portanto o comportamento final da função f será igual ao comportamento final de 3x3.
Como o grau é ímpar e o coeficiente principal é positivo, o comportamento final será: conforme x+, f(x)+ e, conforme x, f(x).

Como esboçar um gráfico

Podemos usar o que descobrimos acima para esboçar um gráfico de y=f(x).
Vamos começar com o comportamento final:
  • Conforme x+, f(x)+.
  • Conforme x, f(x).
Isso significa que nas "extremidades", o gráfico se parecerá com o gráfico de y=x3.
Agora, podemos acrescentar o que sabemos sobre as interceptações em x:
  • O gráfico toca o eixo x em (2,0), uma vez que 2 é uma raiz de multiplicidade par.
  • O gráfico cruza o eixo x em (23,0), já que 23 é uma raiz de multiplicidade ímpar.
Por fim, vamos terminar esse processo plotando a interceptação em y em (0,8) e preenchendo os espaços vazios com uma curva suave e contínua.
Embora não saibamos exatamente onde estão localizados os pontos de inflexão, ainda temos uma boa ideia da forma geral do gráfico da função!

Intervalos positivo e negativo

Agora que temos um esboço do gráfico de f, fica fácil determinar os intervalos nos quais f é positivo e aqueles nos quais ele é negativo.
Vemos que f é positivo quando x>23, e negativo quando x<2 ou 2<x<23.

Teste seus conhecimentos

1) Agora você vai trabalhar sozinho(a) em um esboço de g(x)=(x+1)(x2)(x+5).
a) Qual é a interceptação em y do gráfico de g(x)=(x+1)(x2)(x+5)?
(0,
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi
)

b) Qual é o comportamento final do gráfico de g(x)=(x+1)(x2)(x+5)?
Escolha 1 resposta:

c) Quais são as interceptações em x do gráfico de g(x)=(x+1)(x2)(x+5)?
Escolha 1 resposta:

d) Quais dos seguintes gráficos podem ser o gráfico de g(x)=(x+1)(x2)(x+5)?
Escolha 1 resposta:

2) Quais dos seguintes gráficos podem ser o gráfico de y=(2x)(x+1)2
Escolha 1 resposta:

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