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Matemática 3

Curso: Matemática 3 > Unidade 4

Lição 4: Juntando tudo

Gráficos de polinômios

Analise polinômios para traçar seus gráficos.

Conceitos com os quais você deve estar familiarizado antes de iniciar esta lição

O comportamento final de uma função

f

descreve o comportamento de seu gráfico nas "extremidades" do eixo

x

. Algebricamente, o comportamento final é determinado pelas duas questões a seguir:

Conforme $x \to + \infty$ ‍, $f (x)$ ‍ se aproxima do que?
Conforme $x \to - \infty$ ‍, $f (x)$ ‍ se aproxima do que?

Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre o comportamento final de polinômios.

As raízes de uma função

f

correspondem às interceptações em

x

de seu gráfico. Se

f

tem uma raiz de multiplicidade ímpar, seu gráfico vai cruzar o eixo

x

naquele valor de

x

. Se

f

tem uma raiz de multiplicidade par, seu gráfico vai tocar o eixo

x

naquele ponto.

Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre raízes de polinômios.

O que você vai aprender nessa lição

Nesta lição, vamos usar as características acima para analisar e esboçar gráficos de polinômios. Então, usaremos o esboço para encontrar os intervalos positivo e negativo dos polinômios.

Análise de funções polinomiais

Agora, vamos analisar várias características do gráfico do polinômio

f (x) = (3 x - 2) (x + 2)^{2}

Como encontrar a interceptação em $y$ ‍

Para encontrar a interceptação em

y

do gráfico de

f

, podemos calcular

f (0)

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (0) & = (3 (0) - 2) (0 + 2)^{2} \\ f (0) & = (- 2) (4) \\ f (0) & = - 8 \end{aligned}$ ‍

A interceptação em

y

do gráfico de

y = f (x)

(0, - 8)

Como encontrar as interceptações em $x$ ‍

Para encontrar as interceptações em

x

, podemos resolver a equação

f (x) = 0

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ 0 & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \end{aligned}$ ‍
$\begin{aligned} ↙ & ↘ \\ 3 x - 2 & = 0 & ou x + 2 & = 0 & Propriedade do produto das raízes \\ x & = \frac{2}{3} & ou x & = - 2 \end{aligned}$ ‍

As interceptações em

x

do gráfico de

y = f (x)

são

(\frac{2}{3}, 0)

(- 2, 0)

Nosso trabalho também mostra que

\frac{2}{3}

é uma raiz de multiplicidade

1

e que

- 2

é uma raiz de multiplicidade

2

. Isso significa que o gráfico vai cruzar o eixo

x

(\frac{2}{3}, 0)

e tocar o eixo

x

(- 2, 0)

Como encontrar o comportamento final

Para encontrar o comportamento final de uma função, podemos examinar o termo principal quando a função estiver escrita na forma padrão.

Vamos escrever a equação na forma padrão.

$\begin{aligned} f (x) & = (3 x - 2) (x + 2)^{2} \\ f (x) & = (3 x - 2) (x^{2} + 4 x + 4) \\ f (x) & = 3 x^{3} + 12 x^{2} + 12 x - 2 x^{2} - 8 x - 8 \\ f (x) & = 3 x^{3} + 10 x^{2} + 4 x - 8 \end{aligned}$ ‍

[É necessário fazer isso?]

O termo principal do polinômio é

3 x^{3}

, portanto o comportamento final da função

f

será igual ao comportamento final de

3 x^{3}

Como o grau é ímpar e o coeficiente principal é positivo, o comportamento final será: conforme

x \to + \infty

f (x) \to + \infty

e, conforme

x \to - \infty

f (x) \to - \infty

Como esboçar um gráfico

Podemos usar o que descobrimos acima para esboçar um gráfico de

y = f (x)

Vamos começar com o comportamento final:

Conforme $x \to + \infty$ ‍, $f (x) \to + \infty$ ‍.
Conforme $x \to - \infty$ ‍, $f (x) \to - \infty$ ‍.

Isso significa que nas "extremidades", o gráfico se parecerá com o gráfico de

y = x^{3}

Agora, podemos acrescentar o que sabemos sobre as interceptações em

x

O gráfico toca o eixo $x$ ‍ em $(- 2, 0)$ ‍, uma vez que $- 2$ ‍ é uma raiz de multiplicidade par.
O gráfico cruza o eixo $x$ ‍ em $(\frac{2}{3}, 0)$ ‍, já que $\frac{2}{3}$ ‍ é uma raiz de multiplicidade ímpar.

Por fim, vamos terminar esse processo plotando a interceptação em

y

(0, - 8)

e preenchendo os espaços vazios com uma curva suave e contínua.

Embora não saibamos exatamente onde estão localizados os pontos de inflexão, ainda temos uma boa ideia da forma geral do gráfico da função!

Intervalos positivo e negativo

Agora que temos um esboço do gráfico de

f

, fica fácil determinar os intervalos nos quais

f

é positivo e aqueles nos quais ele é negativo.

Vemos que

f

é positivo quando

x > \frac{2}{3}

, e negativo quando

x < - 2

- 2 < x < \frac{2}{3}

Teste seus conhecimentos

1) Agora você vai trabalhar sozinho(a) em um esboço de

g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)

a) Qual é a interceptação em $y$ ‍ do gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
$(0$ ‍,
Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍
$)$ ‍

[Preciso de ajuda!]

b) Qual é o comportamento final do gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha B)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.
(Escolha C)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to + \infty$ ‍.
(Escolha D)
Conforme $x \to + \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍ e, conforme $x \to - \infty$ ‍, $g (x) \to - \infty$ ‍.

[Preciso de ajuda!]

c) Quais são as interceptações em $x$ ‍ do gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
$(1, 0)$ ‍, $(- 2, 0)$ ‍ e $(5, 0)$ ‍
(Escolha B)
$(- 1, 0)$ ‍, $(2, 0)$ ‍ e $(- 5, 0)$ ‍

[Preciso de ajuda!]

d) Quais dos seguintes gráficos podem ser o gráfico de $g (x) = (x + 1) (x - 2) (x + 5)$ ‍?
Escolha 1 resposta:
(Escolha A)
(Escolha B)
(Escolha C)
(Escolha D)

[Preciso de ajuda!]

2) Quais dos seguintes gráficos podem ser o gráfico de $y = (2 - x) (x + 1)^{2}$ ‍

[Preciso de ajuda!]

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Como encontrar a interceptação em y‍

Como encontrar as interceptações em x‍

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