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Intervalos positivos e negativos de polinômios

Aprenda sobre a relação entre os zeros de polinômios e os intervalos nos quais eles são positivos ou negativos.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

As raízes de um polinômio f correspondem às interceptações em x do gráfico de y=f(x).
Por exemplo, vamos supor que f(x)=(x+3)(x1)2. Como as raízes da função f são 3 e 1, o gráfico de y=f(x) terá interceptações em x em (3,0) e (1,0).
Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nosso artigo sobre raízes de polinômios.

O que você vai aprender nessa lição

Embora as interceptações em x sejam uma característica importante do gráfico de uma função, precisamos de mais informações para fazer um bom esboço.
Saber o sinal de uma função polinomial entre duas raízes pode nos ajudar a preencher algumas lacunas.
Nesse artigo, vamos aprender a determinar os intervalos em que um polinômio é positivo ou negativo e conectar esta informação ao gráfico.

Intervalos positivos e negativos

O sinal de um polinômio entre qualquer uma de duas raízes consecutivas é ou sempre positivo ou sempre negativo.
Por exemplo, considere o gráfico da função f(x)=(x+1)(x1)(x3).
A partir do gráfico, vemos que f(x) sempre é ...
  • ...negativa quando <x<1.
  • ...positiva quando 1<x<1.
  • ...negativa quando 1<x<3.
  • ...positiva quando 3<x<.
Contudo, uma função polinomial não precisa necessariamente mudar de sinais entre raízes.
Por exemplo, considere o gráfico da função g(x)=x(x+2)2.
A partir do gráfico, vemos que g(x) sempre é...
  • ...negativa quando <x<2.
  • ...negativa quando 2<x<0.
  • ...positiva quando 0<x<.
Observe que g(x) não muda de sinal em torno de x=2.

Determinação dos intervalos positivos e negativos de polinômios

Vamos encontrar os intervalos nos quais o polinômio f(x)=(x+3)(x1)2 é positivo e os intervalos nos quais ele é negativo.
As raízes de f são 3 e 1. Isso cria três intervalos nos quais o sinal de f é constante:
Vamos descobrir o sinal de f para <x<3.
Sabemos que f será sempre positiva ou sempre negativa nesse intervalo. Podemos determinar qual é o caso calculando f para um valor nesse intervalo. Como 4 está nesse intervalo, vamos calcular f(4).
Como só estamos interessados aqui no sinal do polinômio, não precisamos calculá-lo completamente:
f(x)=(x+3)(x1)2f(4)=(4+3)(41)2=()()2Calcule somente o sinal da resposta.=()(+)Um número negativo ao quadrado é positivo.=Um número negativo vezes um número positivo é negativo.
Vemos aqui que f(4) é negativa, portanto f(x) será sempre negativa para <x<3.
Podemos repetir o processo para os intervalos restantes.
Os resultados estão resumidos na tabela abaixo.
IntervaloO valor de uma f(x) específica dentro do intervaloSinal de f no intervaloConexão com o gráfico de f
<x<3f(4)<0negativoAbaixo do eixo x
3<x<1f(0)>0positivoAcima do eixo x
1<x<f(2)>0positivoAcima do eixo x
Isso é coerente com o gráfico de y=f(x).

Teste seu conhecimento

1) g(x)=(x+1)2(x+6) tem raízes em x=6 e x=1.
Qual é o sinal de g no intervalo 6<x<1?
Escolha 1 resposta:

2) h(x)=(3x)(x+5)(x2) tem raízes em x=5, x=2 e x=3.
Qual é o sinal de h(x) no intervalo 5<x<2?
Escolha 1 resposta:

Desafio

3*) Quais dos seguintes gráficos podem ser o gráfico de g(x)=(x2)2(x+1)3?
Escolha 1 resposta:

Determinação de intervalos positivos e negativos a partir de um esboço do gráfico

Outra maneira de determinar os intervalos nos quais um polinômio é positivo ou negativo é desenhando um esboço de seu gráfico, com base no comportamento final do polinômio e nas multiplicidades de suas raízes.
Veja nossos artigo sobre gráficos de polinômios para ver outros detalhes.

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