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Matemática 3

Curso: Matemática 3 > Unidade 4

Lição 2: Intervalos positivos e negativos de polinômios
Matemática
Matemática 3
Gráficos de polinômios
Intervalos positivos e negativos de polinômios
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Zeros de polinômios e seus gráficos

Google Sala de Aula
Aprenda sobre a relação entre zeros, raízes e interceptações em x de polinômios. Aprenda sobe as multiplicidades de zeros.

O que você vai aprender nessa lição

Ao estudar polinômios, frequentemente você ouve os termos zeros, raízes, fatores e interceptações em x.
Nesse artigo, vamos explorar essas características dos polinômios e a relação especial que elas têm umas com as outras.

Conexões fundamentais para funções polinomiais

Para um polinômio f e um número real k, as afirmativas a seguir são equivalentes:
  • x=k é uma raiz, ou solução, da equação f(x)=0
  • k é um zero da função f
  • (k,0) é uma interceptação em x do gráfico de y=f(x)
  • x−k é um fator linear de f(x)
Vamos entender isso com o polinômio g(x)=(x−3)(x+2), que pode ser escrito assim: g(x)=(x−3)(x−(−2)).
Primeiramente, vemos que os fatores lineares de g(x) são (x−3) e (x−(−2)).
Se definirmos g(x)=0 e calcularmos o valor de x, obteremos x=3 ou x=−2. Essas são as soluções, ou raízes, da equação.
Um zero de uma função é um valor de x que faz com que a função valha 0. Como sabemos que x=3 e x=−2 são soluções para g(x)=0, então 3 e −2 são os zeros da função g.
Por fim, as interceptações em x do gráfico de y=g(x) satisfazem a equação 0=g(x), que foi resolvida acima. As interceptações em x da equação são (3,0) e (−2,0).

Teste seu conhecimento

1) Quais são os zeros de f(x)=(x+4)(x−7)?
Escolha 1 resposta:

2) O gráfico da função g cruza o eixo x em (2,0). Qual deve ser uma raiz da equação g(x)=0?
x=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4
  • um número decimal exato, como 0,75
  • um múltiplo de pi, como 12 pi ou 2/3 pi

3) Os zeros da função h são −1 e 3. Quais das seguintes opções podem ser h(x)?
Escolha 1 resposta:

Raízes e multiplicidade

Quando um fator linear ocorre várias vezes na fatoração de um polinômio, isso fornece a multiplicidade relacionada à raiz.
Por exemplo, no polinômio f(x)=(x−1)(x−4)2, o número 4 é uma raiz de multiplicidade 2.
Observe que, quando expandimos f(x), o fator (x−4) é escrito 2 vezes.
f(x)=(x−1)(x−4)(x−4)
Então, em certo sentido, quando você resolver f(x)=0, você obterá x=4 duas vezes.
0=(x−1)(x−4)(x−4)x−1=0x−4=0x−4=0x=1x=4x=4
Em geral, se x−k ocorre m vezes na fatoração de um polinômio, então k é uma raiz de multiplicidade m. Uma raiz de multiplicidade 2 é chamada de raiz dupla.

Teste seu conhecimento

4) Qual raiz de f(x)=(x−3)(x−1)3 tem multiplicidade 3?
Escolha 1 resposta:

5) Qual raiz de g(x)=(x+1)3(2x+1)2 é uma raiz dupla?
Escolha 1 resposta:

A conexão gráfica

A multiplicidade de uma raiz é importante porque ela nos diz como o gráfico do polinômio vai se comportar próximo da raiz.
Por exemplo, observe que o gráfico de f(x)=(x−1)(x−4)2 se comporta de maneira diferente próximo da raiz 1 e próximo da raiz 4, que é uma raiz dupla.
Especificamente, enquanto o gráfico cruza o eixo x em x=1, ele apenas toca o eixo x em x=4.
Vamos olhar para o gráfico de uma função que tem as mesmas raízes, mas multiplicidades diferentes. Por exemplo, considere g(x)=(x−1)2(x−4). Observe que, para essa função, 1 é agora uma raiz dupla, enquanto 4 é uma raiz única.
Agora, vemos que o gráfico de g toca o eixo x em x=1 e cruza o eixo x em x=4.
Em geral, se uma função f tiver uma raiz de multiplicidade ímpar, o gráfico de y=f(x) vai cruzar o eixo x naquele valor de x. Se uma função f tiver uma raiz de multiplicidade par, o gráfico de y=f(x) vai tocar o eixo x naquele ponto.

Teste seu conhecimento

6) No gráfico da função, a multiplicidade da raiz 6 é par ou ímpar?
Escolha 1 resposta:

7) Qual é o gráfico de h(x)=x2(x−3)?
Escolha 1 resposta:

Desafio

8*) Qual é o gráfico de f(x)=−x3+4x2−4x?
Escolha 1 resposta:

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