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Conteúdo principal

Introdução às expressões racionais

Aprenda o que são expressões racionais e sobre os valores para os quais elas são indefinidas.

O que você vai aprender nessa lição

Essa lição vai apresentá-lo às expressões racionais. Você vai aprender a determinar quando uma expressão racional é indefinida e a encontrar o seu domínio.

O que é uma expressão racional?

Um polinômio é uma expressão composta por uma soma de termos que contêm potências de x de números inteiros, como por exemplo 3, x, squared, minus, 6, x, minus, 1.
Uma expressão racional é simplesmente um quociente de dois polinômios. Ou, em outras palavras, é uma fração cujo numerador e denominador são polinômios.
Estes são exemplos de expressões racionais:
  • start fraction, 1, divided by, x, end fraction
  • start fraction, x, plus, 5, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 4, end fraction
  • start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, left parenthesis, 2, x, minus, 3, right parenthesis, divided by, x, minus, 6, end fraction
Observe que o numerador pode ser uma constante e que os polinômios podem ser de diferentes graus e de diversas formas.

Expressões racionais e valores indefinidos

Considere a expressão racional start fraction, 2, x, plus, 3, divided by, x, minus, 2, end fraction.
Podemos determinar o valor dessa expressão para valores específicos de x. Por exemplo, vamos calcular a expressão em que start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd.
2(1)+312=51=5\begin{aligned} \dfrac{2(\blueD{1})+3}{\blueD1-2} &= \dfrac{5}{-1} \\\\ &=\goldD{-5} \end{aligned}
Com isso, vemos que o valor da expressão em que start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 1, end color #11accd é start color #e07d10, minus, 5, end color #e07d10.
Agora, vamos encontrar o valor da expressão em que start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd.
2(2)+322=70=indefinido!\begin{aligned} \dfrac{2(\blueD{2})+3}{\blueD2-2} &= \dfrac{7}{0} \\\\ &=\goldD{\text{indefinido!}} \end{aligned}
Uma entrada de 2 torna o denominador igual a 0. Como a divisão por 0 é indefinida, start color #11accd, x, end color #11accd, equals, start color #11accd, 2, end color #11accd não é uma entrada possível para essa expressão!

Domínio de expressões racionais

O domínio de qualquer expressão é o conjunto de todos os valores de entrada possíveis.
No caso de expressões racionais, podemos inserir qualquer valor de entrada, exceto àqueles que tornam o denominador igual a 0 (uma vez que a divisão por 0 é indefinida).
Em outras palavras, o domínio de uma expressão racional inclui todos os números reais, exceto àqueles que tornam seu denominador igual a zero.

Exemplo: como encontrar o domínio de start fraction, x, plus, 1, divided by, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 4, right parenthesis, end fraction

Vamos encontrar as raízes do denominador e, em seguida, restringir esses valores:
(x3)(x+4)=0x3=0oux+4=0x=3oux=4\begin{aligned} (x-3)&(x+4)= 0 \\\\ \swarrow \quad&\quad \searrow \\\\ x-3=0 \quad &\text{ou} \quad x+4=0 \\\\ x = 3 \quad&\text{ou} \quad x=-4 \end{aligned}
Então, escrevemos que o domínio é todos os números reais, exceto start text, 3, end text e start text, negative, 4, end text, ou simplesmente x, does not equal, 3, comma, minus, 4.

Teste seu conhecimento

Problema 1
Qual é o domínio de start fraction, x, plus, 1, divided by, x, minus, 7, end fraction?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Problema 2
Qual é o domínio de start fraction, 3, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 1, end fraction?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Problema 3
Qual é o domínio de start fraction, 2, x, minus, 3, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 1, right parenthesis, end fraction?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Problema 4
Qual é o domínio de start fraction, x, minus, 3, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Problema 5
Qual é o domínio de start fraction, x, plus, 2, divided by, x, squared, plus, 4, end fraction?
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

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  • Avatar orange juice squid orange style do usuário Arbex Baiesta
    Este que exercício que não existe restrição é pegadinha. Qual é dica neste caso.?
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar male robot hal style do usuário Francisco Eduardo
      Não há pegadinha. Neste caso não existe restrição pois nenhum número para x vai resultar em um valor igual a zero no denominador, ou seja, todos os números reais podem ser utilizados como valor de entrada, como domínio.

      Só há restrição quando o valor de entrada (x) resulta em um valor igual à 0 no denominador.
      (5 votos)
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