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Conteúdo principal

Simplificação de expressões racionais

Saiba o que significa simplificar uma expressão racional e como isso é feito!

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma expressão racional é uma razão de dois polinômios. O domínio de uma expressão racional é formado por todos os números reais, exceto aqueles que tornam o denominador igual a zero.
Por exemplo, o domínio da expressão racional start fraction, x, plus, 2, divided by, x, plus, 1, end fraction é formado por todos os números reais, exceto start text, negative, 1, end text, ou x, does not equal, minus, 1.
Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução às expressões racionais.
Você também deveria saber como fatorar polinômios para esta lição.

O que você vai aprender nessa lição

Neste artigo, vamos aprender a simplificar expressões racionais vendo vários exemplos.

Introdução

Uma expressão racional é considerada simplificada se o numerador e o denominador não tiverem fatores em comum.
Podemos simplificar as expressões racionais da mesma forma como simplificamos frações numéricas.
Por exemplo, a versão simplificada de start fraction, 6, divided by, 8, end fraction é start fraction, 3, divided by, 4, end fraction. Observe como cancelamos um fator comum igual a 2 do numerador e do denominador:
68=2324=2324=34\begin{aligned} \dfrac68&= \dfrac{2\cdot 3}{2\cdot 4} \\\\ &= \dfrac{\tealE{\cancel{2}}\cdot 3}{\tealE{\cancel{2}}\cdot 4} \\\\ &= \dfrac{3}{4} \end{aligned}

Exemplo 1: Simplificação de start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction

Etapa 1: fatore o numerador e o denominador
A única maneira de saber se o numerador e o denominador compartilham fatores comuns é fatorá-los!
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fraction, equals, start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, x, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end fraction
Etapa 2: registre os valores restritos
Neste ponto, é interessante notar quaisquer restrições sobre x. Elas serão mantidas na expressão simplificada.
Como a divisão por 0 é indefinida, vemos aqui que start color #0c7f99, x, does not equal, 0, end color #0c7f99 e start color #7854ab, x, does not equal, minus, 5, end color #7854ab.
start fraction, x, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #0c7f99, x, end color #0c7f99, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, end color #7854ab, end fraction
Etapa 3: cancele fatores comuns
Agora, observe que o numerador e o denominador compartilham um fator comum igual a x. Ele pode ser cancelado.
x(x+3)x(x+5)=x(x+3)x(x+5)=x+3x+5\begin{aligned} \dfrac{\tealE x(x+3)}{\tealD x(x+5)}&=\dfrac{\tealE {\cancel {x}}(x+3)}{\tealE{\cancel x}(x+5)} \\\\ &=\dfrac{x+3}{x+5} \end{aligned}
Etapa 4: resposta final
Lembre-se de que a expressão original é definida para x, does not equal, 0, comma, minus, 5. A expressão simplificada deve ter as mesmas restrições.
Por isso, temos que observar que x, does not equal, 0. Não precisamos observar que x, does not equal, minus, 5, pois isso é compreendido a partir da expressão.
Conclusão, a forma simplificada é escrita assim:
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 0

Uma observação sobre expressões equivalentes

Expressão originalExpressão simplificada
start fraction, x, squared, plus, 3, x, divided by, x, squared, plus, 5, x, end fractionstart fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 0
As duas expressões acima são equivalentes. Isso significa que seus valores de saída são iguais para todos os valores possíveis de x. A tabela abaixo ilustra isso para x, equals, 2.
Expressão originalExpressão simplificada
Cálculo para start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab(2)2+3(2)(2)2+5(2)=1014=2527=2527=57\begin{aligned}\dfrac{(\purpleD{2})^2+3(\purpleD{2})}{(\purpleD{2})^2+5(\purpleD{2})}&=\dfrac{10}{14}\\\\&=\dfrac{\purpleD{{2}}\cdot 5}{\purpleD{{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{\purpleD{\cancel{2}}\cdot 5}{\purpleD{\cancel{2}}\cdot 7}\\\\&=\dfrac{5}{7}\end{aligned}2+32+5=57=57=57=57\begin{aligned}\dfrac{\purpleD{2}+3}{\purpleD{2}+5}&=\dfrac{5}{7}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\\\\&\phantom{=\dfrac57}\end{aligned}
ObservaçãoO resultado é simplificado ao cancelarmos um fator comum igual a start color #7854ab, 2, end color #7854ab.O resultado já está simplificado porque o fator de x (neste caso start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab), já foi cancelado durante o processo de simplificação.
Por isso, as duas expressões têm o mesmo valor para a mesma entrada. No entanto, os valores que tornam a expressão original indefinida costumam quebrar esta regra. Observe que esse é o caso de start color #7854ab, x, equals, 0, end color #7854ab.
Expressão originalExpressão simplificada (sem restrição)
Cálculo para start color #7854ab, x, equals, 0, end color #7854ab(0)2+3(0)(0)2+5(0)=00=indefinido\begin{aligned}\dfrac{(\purpleD{0})^2+3(\purpleD{0})}{(\purpleD{0})^2+5(\purpleD{0})}&=\dfrac{0}{0}\\\\&=\text{indefinido}\end{aligned}0+30+5=35indefinido\begin{aligned}\dfrac{\purpleD{0}+3}{\purpleD{0}+5}&=\dfrac{3}{5}\\\\&\phantom{\text{indefinido}}\end{aligned}
Como as duas expressões devem ser equivalentes para todas as entradas possíveis, precisamos exigir x, does not equal, 0 para a expressão simplificada.

Alerta de erro de conceito

Observe que não podemos cancelar x na expressão abaixo. Isso porque eles são termos, e não fatores dos polinômios!
start fraction, x, plus, 3, divided by, x, plus, 5, end fraction, does not equal, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Isso fica claro quando vemos um exemplo numérico. Por exemplo, suponha que start color #7854ab, x, equals, 2, end color #7854ab.
start fraction, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, plus, 3, divided by, start color #7854ab, 2, end color #7854ab, plus, 5, end fraction, does not equal, start fraction, 3, divided by, 5, end fraction
Como regra, só podemos cancelar se o numerador e o denominador estiverem na forma fatorada!

Resumo do processo de simplificação

  • Etapa 1: fatore o numerador e o denominador.
  • Etapa 2: liste os valores restritos.
  • Etapa 3: cancele os fatores comuns.
  • Etapa 4: simplifique e observe quaisquer valores restritos não indicados pela expressão.

Teste seu conhecimento

Problema 1
Simplifique start fraction, 6, x, plus, 20, divided by, 2, x, plus, 10, end fraction.
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Problema 2
Simplifique start fraction, x, cubed, minus, 3, x, squared, divided by, 4, x, squared, minus, 5, x, end fraction.
para x, does not equal
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemplo 2: Simplificação de start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction

Etapa 1: fatore o numerador e o denominador
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, plus, 5, x, plus, 6, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end fraction
Etapa 2: registre os valores restritos
Como a divisão por 0 é indefinida, aqui vemos que start color #0c7f99, x, does not equal, minus, 2, end color #0c7f99 e start color #7854ab, x, does not equal, minus, 3, end color #7854ab.
start fraction, left parenthesis, x, minus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, divided by, start color #0c7f99, left parenthesis, x, plus, 2, right parenthesis, end color #0c7f99, start color #7854ab, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, end color #7854ab, end fraction
Etapa 3: cancele fatores comuns
Observe que o numerador e o denominador compartilham um fator comum igual a start color #208170, x, plus, 3, end color #208170. Ele pode ser cancelado.
(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=(x3)(x+3)(x+2)(x+3)=x3x+2\begin{aligned} \dfrac{(x-3)\tealE{(x+3)}}{(x+2)\tealE{(x+3)}}&=\dfrac{(x-3)\tealE{\cancel{(x+3)}}}{(x+2)\tealE{\cancel{(x+3)}}} \\\\ &=\dfrac{x-3}{x+2} \end{aligned}
Etapa 4: resposta final
Escrevemos a forma simplificada assim:
start fraction, x, minus, 3, divided by, x, plus, 2, end fraction para x, does not equal, minus, 3
A expressão original exige x, does not equal, minus, 2, comma, minus, 3. Não precisamos observar que x, does not equal, minus, 2, pois isso é compreendido a partir da expressão.

Teste sua compreensão

Problema 3
Simplifique start fraction, x, squared, minus, 3, x, plus, 2, divided by, x, squared, minus, 1, end fraction.
Escolha 1 resposta:
Escolha 1 resposta:

Problema 4
Simplifique start fraction, x, squared, minus, 2, x, minus, 15, divided by, x, squared, plus, x, minus, 6, end fraction.
para x, does not equal
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

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