Não entendi porque no teste 3 a fatoração de x^2-3x+2 ficou (x-2)(x-1) . Não entendo porque ficou negativo. Alguém poderia me ajudar?

Gustavo, faça (x-2)(x-1), dá exatamente x²-3x+2... veja que a=1, b=-3 e c=2, então aqui (a=1) você pode fatorar, se achar os dois números que somados dá "-3" e multiplicados dá "2", então são "-2" e "-1"... assim as raizes da função associada à expressão são "2" e "1", que são os valores que zeram a função :)

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Matemática 3

Curso: Matemática 3 > Unidade 13

Lição 1: Cancelamento de fatores comuns

Simplificação de expressões racionais

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Saiba o que significa simplificar uma expressão racional e como isso é feito!

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma expressão racional é uma razão de dois polinômios. O domínio de uma expressão racional é formado por todos os números reais, exceto aqueles que tornam o denominador igual a zero.

Por exemplo, o domínio da expressão racional

\frac{x + 2}{x + 1}

é formado por todos os números reais, exceto $-1$ ‍, ou

x \neq - 1

Se isso é novidade para você, recomendamos que você confira nossa introdução às expressões racionais.

Você também deveria saber como fatorar polinômios para esta lição.

O que você vai aprender nessa lição

Neste artigo, vamos aprender a simplificar expressões racionais vendo vários exemplos.

Introdução

Uma expressão racional é considerada simplificada se o numerador e o denominador não tiverem fatores em comum.

Podemos simplificar as expressões racionais da mesma forma como simplificamos frações numéricas.

Por exemplo, a versão simplificada de

\frac{6}{8}

\frac{3}{4}

. Observe como cancelamos um fator comum igual a

2

do numerador e do denominador:

\begin{aligned} \frac{6}{8} & = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \\ = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} \\ = \frac{3}{4} \end{aligned}

Exemplo 1: Simplificação de $\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍

Etapa 1: fatore o numerador e o denominador

A única maneira de saber se o numerador e o denominador compartilham fatores comuns é fatorá-los!

\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x} = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}

Etapa 2: registre os valores restritos

Neste ponto, é interessante notar quaisquer restrições sobre

x

. Elas serão mantidas na expressão simplificada.

Como a divisão por

0

é indefinida, vemos aqui que

x \neq 0

x \neq - 5

\frac{x (x + 3)}{x (x + 5)}

Etapa 3: cancele fatores comuns

Agora, observe que o numerador e o denominador compartilham um fator comum igual a

x

. Ele pode ser cancelado.

\begin{aligned} \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} & = \frac{x (x + 3)}{x (x + 5)} \\ = \frac{x + 3}{x + 5} \end{aligned}

Etapa 4: resposta final

Lembre-se de que a expressão original é definida para

x \neq 0, - 5

. A expressão simplificada deve ter as mesmas restrições.

Por isso, temos que observar que

x \neq 0

. Não precisamos observar que

x \neq - 5

, pois isso é compreendido a partir da expressão.

[Pode explicar melhor aqui?]

Conclusão, a forma simplificada é escrita assim:

\frac{x + 3}{x + 5}

para

x \neq 0

Uma observação sobre expressões equivalentes

Expressão original	Expressão simplificada
$\frac{x^{2} + 3 x}{x^{2} + 5 x}$ ‍	$\frac{x + 3}{x + 5}$ ‍ para $x \neq 0$ ‍

As duas expressões acima são equivalentes. Isso significa que seus valores de saída são iguais para todos os valores possíveis de

x

. A tabela abaixo ilustra isso para

x = 2

	Expressão original		Expressão simplificada
Cálculo para $x = 2$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(2)^{2} + 3 (2)}{(2)^{2} + 5 (2)} & = \frac{10}{14} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 7} \\ = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{2 + 3}{2 + 5} & = \frac{5}{7} \end{aligned}$ ‍
Observação	O resultado é simplificado ao cancelarmos um fator comum igual a $2$ ‍.		O resultado já está simplificado porque o fator de $x$ ‍ (neste caso $x = 2$ ‍), já foi cancelado durante o processo de simplificação.

Por isso, as duas expressões têm o mesmo valor para a mesma entrada. No entanto, os valores que tornam a expressão original indefinida costumam quebrar esta regra. Observe que esse é o caso de

x = 0

	Expressão original		Expressão simplificada (sem restrição)
Cálculo para $x = 0$ ‍	$\begin{aligned} \frac{(0)^{2} + 3 (0)}{(0)^{2} + 5 (0)} & = \frac{0}{0} \\ = indefinido \end{aligned}$ ‍		$\begin{aligned} \frac{0 + 3}{0 + 5} & = \frac{3}{5} \end{aligned}$ ‍

Como as duas expressões devem ser equivalentes para todas as entradas possíveis, precisamos exigir

x \neq 0

para a expressão simplificada.

Alerta de erro de conceito

Observe que não podemos cancelar

x

na expressão abaixo. Isso porque eles são termos, e não fatores dos polinômios!

\frac{x + 3}{x + 5} \neq \frac{3}{5}

Isso fica claro quando vemos um exemplo numérico. Por exemplo, suponha que

x = 2

\frac{2 + 3}{2 + 5} \neq \frac{3}{5}

Como regra, só podemos cancelar se o numerador e o denominador estiverem na forma fatorada!

Resumo do processo de simplificação

Etapa 1: fatore o numerador e o denominador.
Etapa 2: liste os valores restritos.
Etapa 3: cancele os fatores comuns.
Etapa 4: simplifique e observe quaisquer valores restritos não indicados pela expressão.

Teste seu conhecimento

Problema 1

Simplifique $\frac{6 x + 20}{2 x + 10}$ ‍.

Problema 2

Simplifique $\frac{x^{3} - 3 x^{2}}{4 x^{2} - 5 x}$ ‍.

para

x \neq

Exemplo 2: Simplificação de $\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6}$ ‍

Etapa 1: fatore o numerador e o denominador

\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5 x + 6} = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

[Poderia mostrar a fatoração?]

Etapa 2: registre os valores restritos

Como a divisão por

0

é indefinida, aqui vemos que

x \neq - 2

x \neq - 3

\frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)}

Etapa 3: cancele fatores comuns

Observe que o numerador e o denominador compartilham um fator comum igual a

x + 3

. Ele pode ser cancelado.

\begin{aligned} \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} & = \frac{(x - 3) (x + 3)}{(x + 2) (x + 3)} \\ = \frac{x - 3}{x + 2} \end{aligned}

Etapa 4: resposta final

Escrevemos a forma simplificada assim:

\frac{x - 3}{x + 2}

para

x \neq - 3

A expressão original exige

x \neq - 2, - 3

. Não precisamos observar que

x \neq - 2

, pois isso é compreendido a partir da expressão.

Teste sua compreensão

Problema 3

Simplifique $\frac{x^{2} - 3 x + 2}{x^{2} - 1}$ ‍.

Problema 4

Simplifique $\frac{x^{2} - 2 x - 15}{x^{2} + x - 6}$ ‍.

para

x \neq

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Gustavo Moura
Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Não entendi porque no tes...” de Gustavo Moura
Não entendi porque no teste 3 a fatoração de x^2-3x+2 ficou (x-2)(x-1) . Não entendo porque ficou negativo. Alguém poderia me ajudar?
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Resposta
- Luiz Portella
  Publicado há há 7 anos. Link direto para a postagem “Gustavo, faça (x-2)(x-1),...” de Luiz Portella
  Gustavo, faça (x-2)(x-1), dá exatamente x²-3x+2... veja que a=1, b=-3 e c=2, então aqui (a=1) você pode fatorar, se achar os dois números que somados dá "-3" e multiplicados dá "2", então são "-2" e "-1"... assim as raizes da função associada à expressão são "2" e "1", que são os valores que zeram a função :)
  Comentar sobre a postagem “Gustavo, faça (x-2)(x-1),...” de Luiz Portella
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😊
Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Não estou achando a respo...” de 😊
Não estou achando a resposta : Como simplificar ,X2 + 5 / x + 5
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valeskasantos
Publicado há há 3 anos. Link direto para a postagem “alguem pode me ajudar a s...” de valeskasantos
alguem pode me ajudar a simplificar x/(x+1)
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Jéssica Leal
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “Alguém pode me ajudar a s...” de Jéssica Leal
Alguém pode me ajudar a simplificar este?

x^4 + 4x^3 + 3x^2 / x^6 + 5x^5 + 7x^4 + 3x^3
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lucasfernandesx19
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “como simplifico expressõe...” de lucasfernandesx19
como simplifico expressões de frações com mais de uma fração.
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bi18.joaovxmedeiros
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “nao sei fazer esta conta ...” de bi18.joaovxmedeiros
nao sei fazer esta conta de matematica
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bi18.victorsmartins1
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “oi amigo vc esta bem na s...” de bi18.victorsmartins1
oi amigo vc esta bem na sua casinha
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