Simplificação de expressões racionais

RKA - Quando começamos a aprender sobre frações ou números racionais, a gente aprendeu sobre a ideia de simplificação até obter os menores termos possíveis. Então, se visse alguma coisa como 3/6, a gente sabia que 3 e 6 possuem um fator comum. A gente sabe que o numerador é 3, é somente 3; mas aquele 6 pode ser escrito como "2‧(3)". E, uma vez que possui um fator comum (um 3, neste caso), podemos dividir o numerador por 3 e o denominador por 3, ou dá para falar que é somente 3 dividido por 3 e são cancelados. Na forma irredutível, que é a forma com os menores números possíveis, esta fração seria igual a 1/2. Se tivesse 8/24, mais uma vez, dá para saber que é igual a "8/(3 ‧ 8)", ou é igual a "(1/3)‧(8/8)". Os 8 são cancelados e tem isso como fração irredutível de 1/3. A mesma ideia exata se aplica a expressões racionais. Esses são números racionais; e, em expressões racionais, funciona essencialmente a mesma ideia, mas, em vez de o numerador ser um número real e o denominador ser um número real, eles são expressões envolvendo variáveis. Deixa eu mostrar. Digamos que eu tenha "(9x + 3)/(12x + 4)". Agora, dá para fatorar esse numerador aqui. Podemos fatorar um 3. Isto é igual a "3‧(3x + 1)". E é ao que nosso numerador é igual. No nosso denominador, dá para fatorar um 4. Isso é igual a "4‧(3x + 1). 12 dividido por 4 é 3... "12x/4" é "3x"... mais 4 dividido por 4 é 1. Tanto aqui como ali, o numerador e o denominador têm um fator comum. Nesse caso, é "3x + 1"; e, nesse caso, é uma expressão. Não é um número real, mas pode fazer, exatamente, a mesma coisa. Eles são cancelados. Se a gente fosse escrever esta expressão racional de forma irredutível, daria para falar que é igual a 3/4. Vamos fazer mais um. Digamos que se tivesse "x²"... "x²"... deixa eu ver.... digamos que, se tivesse "(x² - 9)/(5x + 15)", isso vai ser igual a quanto? Dá para fatorar o numerador (é uma diferença de quadrados). Tem "(x + 3)‧(x - 3)". E, no denominador, nós fatoramos um 5. E isto é "5‧(x + 3)". Mais uma vez, um fator comum no numerador e no denominador. Então, dá para cancelar. Mas falamos disso em alguns vídeos atrás; e é preciso ser cuidadoso aqui! Podemos calcular e dá para dizer que será igual a "(x - 3)/5", mas tem que excluir os valores de "x" que teriam feito esse denominador igual a zero e feito a expressão inteira indefinida. Então, dá para escrever como sendo igual a "(x - 3)/5", mas "x" não pode ser igual a -3. -3 não faria disto zero ou isto tudo zero. Todos são equivalentes. Este não equivale a este porque é definido como "x" que é igual a -3, enquanto não é definido como "x" igual a -3. Para fazer o mesmo, eu também tenho que somar a condição extra de que "x"... e não pode ser igual a -3. Da mesma forma, se fosse uma função... digamos que eu escreva "y = (9x + 3)/(12x + 4)" e gostaria de colocar no gráfico quando simplificamos. A tentação é... ah, bom, fatoramos um "3x + 1" no numerador e no denominador... são cancelados. A tentação é dizer: bom, esse é o mesmo caso que "y" igual à constante 3/4, que é só uma reta horizontal para "y = 3/4". Mas tem que somar uma condição, tem que eliminar os valores de "x" que teriam feito aqui igual a zero. E isso teria sido zero se "x" fosse igual a -1/3. Se "x" fosse igual a -1/3, este ou este denominador seriam iguais a zero. Até aqui, teria que dizer que "x" não pode ser igual a -1/3. Esta condição é o que, realmente, faz aquilo igual àquilo: que "x" não pode ser igual a -1/3. Vamos fazer mais alguns desses. Vou usar o rosa. Digamos que eu tenha "(x² + 6x + 8)/(x² + 4x)"... ou, melhor ainda, "(x² + 6x + 5)/(x² - x - 2)". De novo, a gente quer fatorar o numerador e o denominador como fizemos com os números quando aprendemos sobre frações. Se fatorar o numerador... quais são os dois números que, quando eu multiplico, são iguais a 5; e, quando somo, são iguais a 6? Os números que surgem na minha cabeça são 5 e 1. O numerador é "(x + 5)‧(x - 1)". E nosso denominador: dois números [que] multiplicados dão -2, e somados dão -1... -2 e +1 surgem à minha cabeça É um 1 positivo, certo? "(x + 5)‧(x + 1)". "1‧(5)" é 5, "5x + 1x" é "6x". Aqui tem +1 e -2. "(x - 2)‧(x + 1)". Tem um fator comum no numerador e no denominador; são cancelados. Você pode dizer que é igual a "(x + 5)/(x - 2)". Mas, para que eles realmente sejam iguais, a gente tem que fazer a condição de existência. Tem que fazer essa condição de existência para que "x" não possa ser igual a -1, porque, se "x" for igual a -1, fica indefinido. Tem que fazer a condição de existência porque é indefinido para "x = -1". Você pode colocar -1 aqui e obter um número, mas não está definido para "x = -1"; então, tem que somar essa condição para isto ser igual àquilo. Vamos fazer um mais difícil. Digamos que tenha "3x² + 3x - 18"... tudo sobre "2x² + 5x - 3". É sempre um pouco mais complicado fatorar coisas que não tenham 1 como coeficiente, mas aprendemos a fazer. Dá para fazer agrupando e é uma boa prática para o nosso agrupamento. Então, vamos lá. Lembre-se de que vamos fatorar "3x² + 3x - 18". Você precisa pensar nesses dois números... (isso é apenas uma revisão de agrupamento)... precisa pensar em dois números que, quando multiplico, são iguais a "3‧(-18) (ou que seja igual a -54, certo? É 3 vezes -18) e quando somamos "a + b" precisa ser igual a "3x", porque vamos fatorar o "3x" em um "ax" e "bx". Quais dois números poderiam ser? Vamos à nossa tabuada. Um terá que ser positivo e o outro negativo. 9 vezes 6 é 54. Se fizer o +9 e o -6, funciona. "9 - 6" é 3. "9‧(-6)" é -54. Dá para reescrever. Podemos reescrever como "3x²"... e vou dizer... mais "9x" menos "6x" menos 18. Veja que tudo o que eu fiz aqui... eu separei esse "3x" em um "9x - 6x". A única diferença entre essa expressão e esta expressão é que separei o "3x" em um "9x - 6x". Você soma esses dois juntos e obtém "3x". Da maneira que escrevi, dá para ignorar os parênteses. E a única razão pela qual fiz isso é para que eu possa agrupá-lo. Normalmente, decido qual termo ficará próximo a qual termo me baseando no que é positivo ou negativo, ou em quais têm fatores comuns (os dois têm um fator comum com 3). Na verdade, provavelmente, não importaria nessa situação, mas eu gosto do 9 desse lado porque os dois são positivos. Vamos fatorar um "3x" nesta expressão à esquerda. Se fatorar um "3x" nesta expressão, se torna "3x‧(x + 3)". E, se nessa expressão eu fatorar um -6, obtemos "-6‧(x + 3)". Agora, fica bem claro porque nosso agrupamento foi um sucesso. Isto é igual a... dá para colocar em evidência "x + 3", e obter "(3x - 6)‧(x + 3)". Se fosse multiplicar isto vezes cada um desses termos, obteria aquilo, bem aqui. O termo lá em cima é reescrito como "3x - 6"... deixa eu fazer da mesma cor... dá para reescrever como "(3x - 6)‧(x + 3)", e é esse termo aqui. Eu não quero fazer parecer como um sinal negativo, é aquele termo ali. Agora, vamos fatorar esta parte aqui embaixo. Vamos rolar para a esquerda um pouco. Se eu quiser fatorar "2x² + 5x + 3", preciso pensar em dois números que, quando eu pegue seu produto... e obtenha 2 vezes 3 que é igual a 6... e eles precisam somar para ser 5. E os dois números óbvios são 2 e 3. Posso reescrever como "2x² + 2x + 3x + 3" (assim). Se eu colocar parênteses aqui... e decidir agrupar 2 com o 2 porque eles têm um fator comum de 2... agrupei o 3 com o 3 porque eles têm um fator comum de 3... isso aqui é 2 e 3. Então, aqui podemos fatorar um "2x". Se você fatorar um "2x", obtém "2x‧(x + 1)"... mais... você fatora um 3 aqui... mais "3‧(x + 1)". E nosso agrupamento foi um sucesso! É, claramente... deixa eu trocar as cores... é igual a "(2x + 3)‧(x + 1)". Aqui, conseguimos fatorar também. Conseguimos fatorar o denominador também. Na verdade, descobri que eu cometi um erro, hein? Eu escrevi aqui -3. Escrevi +3 aqui... deixa eu rastrear... nossa, que erro terrível! Eu teria que refazer o vídeo, mas é só apagar tudo agora aqui rapidinho. Isto é "2x² + 5x - 3". Então, de novo, "a" vezes "b" precisa ser igual a -3 vezes 2, que é -6. "a" mais "b" precisa ser igual a 5. Nessa situação, parece que, se fosse com... 6 e -1... parece uma situação melhor... "6 -1" é 5, "6‧(-1)" é -6; então... (seria um erro terrível!)... a gente pode reescrever como "2x²"... e eu vou agrupar o 6 com o "12x²" porque eles dividem um fator comum... mais "6x - x" (é igual a "5x") menos 3. Só tive que encontrar os números para separar em "5x". "+6x - x" é "5x" e, se eu colocar alguns parênteses, eu posso fatorar "2x" fora desse primeiro termo. Obtenho "2x‧(x + 3)". Aqui, posso fatorar um negativo: "-1‧(x + 3)". Nosso agrupamento foi um sucesso! Obtivemos 2... deixa eu fazer de outra cor... obtemos "(2x - 1)‧(x + 3)". Nosso denominador é igual a "(2x - 1)‧(x + 3)". Mais uma vez, tem um fator em comum no nosso numerador e no nosso denominador: o "(x + 3)". Mas tem que fazer a condição de existência, de que "x" não pode ser igual a -3 porque faria tudo ser igual a zero. Ou não igual a zero e faria dividir por zero que é indefinido. A gente tem que dizer que "x" não pode ser igual a -3. Essa expressão aqui é igual a "(3x - 6)/(2x - 1)" permitindo que também colocasse a condição de que "x" não é igual a -3. Espero que você tenha achado interessante.