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Simplificação de expressões racionais: fatores monomiais comuns

Neste vídeo, simplificamos as expressões racionais (14x²+7x)/(14x) e (17z³+17z²)/(34z³-51z²) identificando os fatores comuns e cancelando-os.

Transcrição de vídeo

RKA - Então, eu tenho uma expressão racional aqui e o meu objetivo é simplificar isso. Mas, enquanto eu simplificá-la, quero fazer a expressão simplificada ser algebricamente equivalente. Assim, se existem determinados valores de x que tornariam essa coisa indefinida, eu tenho que restringir minha expressão simplificada e esses valores de x. Então, você pode pausar esse vídeo e examiná-la bem. Então, vamos fazer isso juntos. OK. Então, vamos apenas pensar rápido: que valores de x fariam essa expressão ser indefinida? Bem, é indefinida se tentarmos dividi-la por 0. Se x é 0... 14 vezes 0 é 0, ela será indefinida. Então, podemos dizer que... Poderíamos dizer que x não pode ser igual a 0. Para quaisquer outros x, podemos avaliar essa expressão. Agora vamos tentar simplificá-la de fato. Quando você olha para numerador e denominador, cada termo que vemos é divisível por x. E cada termo é divisível por 7. Portanto, parece que podemos deixar 7x em evidência no numerador e no denominador. Então, no numerador podemos reescrever como: 7x vezes... Dividindo 14x² por 7x temos 2x, mais... E fatorando 7x de 7x você tem 1. E uma maneira de pensar sobre isso é que fizemos a distributiva em sentido inverso. Se tivéssemos que fazê-la novamente, 7x vezes 2x dá 14x². 7x vezes 1 é 7x certo? Agora vamos fatorar 7x no denominador. Então, 14x poderia ser reescrito como 7x vezes 2. E, lembre-se, eu quero manter isso algebricamente equivalente. Então, eu quero manter a restrição de que x não pode ser igual a 0. Então, vamos dividir o numerador e o denominador por 7x. Ou, outra maneira de pensar: você pode dividir 7x por 7x e obter apenas 1. E ficamos com: 2x + 1 sobre 2. Agora, nesta expressão original, x poderia assumir qualquer valor. Mas, se queremos que ela seja algebricamente equivalente à nossa expressão original, ela tem que manter as mesmas restrições. Então, nós vamos ter que dizer que x não é igual a 0. Isso é uma coisa muito sutil, mas é muito importante. Por exemplo, se você definir uma função como esta aqui, o domínio da função não pode incluir o 0. Então, se você simplificar como definiu isto, para esta função aqui... Se você quiser que a função seja a mesma, você precisa considerar o mesmo domínio. Ela tem que ser definida para as mesmas entradas e, por isso, nós estamos colocando as mesmas restrições exatas para que elas sejam equivalentes. Se você se livrar dessa restrição, esses dois seriam equivalentes em todos os lugares, exceto para x igual a 0. Isso seria definido para x igual a 0, essa não. E, assim, elas não seriam algebricamente equivalentes. E só se tornam algebricamente equivalentes. É claro, você pode escrever isso de diferentes maneiras. Você pode dividir cada um desses termos por 2 se quiser. Então, você poderia dividir 2x por 2, obter 1x. E depois dividir 1 por 2 e obter 1/2. Mais uma vez, nós queremos manter que o x não pode ser igual a 0. Vamos fazer mais um desses. Bem, é uma expressão um pouco mais cabeluda, mas vamos fazer a mesma coisa, vamos simplificá-la. Mas, à medida que simplificamos, nós realmente precisamos estar conscientes de restringir os zês aqui. Para que tenhamos uma expressão algebricamente equivalente. Então, vamos pensar sobre onde esta é indefinida. Para pensarmos onde isso acontece, fatorando o denominador aqui. Deixe-me fazer apenas o primeiro passo, onde eu posso dizer: "Bem, o que é o fator comum entre o numerador e o denominador?" Cada termo aqui é dividido por z², e cada termo também é dividido por 17. Então, parece que 17z² pode ser posto em evidência. Então, 17² fica em evidência no numerador, de modo que temos: 17z³ dividido por 17². Nos dá apenas 1z. 17z² por 17z² nos dá apenas 1. E, mais uma vez, você pode distribuir 17z² multiplicando vezes z. Obtendo 17z³: 17z² vezes 1 a 17z². OK, tudo isso está sobre o denominador. E queremos fatorar 17z² também no denominador. 17z² vezes... Então, 34z³ dividido por 17z²... 34 dividido por 17 é 2. E z³ dividido por z² é z. Depois, temos -51 dividido por 17, dando 3. E z² dividido por z², dando 1. Então, vamos deixá-la assim. Por aqui fica um pouco claro de como vamos simplificá-la. Estamos apenas dividindo 17z² por 17z², e vamos ter o cuidado de restringir o domínio aqui. Então, podemos dizer que se z é igual a 0, 17z² será também igual a 0, tornando o denominador igual a 0. E podemos ver o mesmo olhando aqui. Então, poderemos dizer que z não pode ser igual a 0. E o que mais? z não pode ser igual... Tudo o que faz com que esse 2z - 3 seja igual a 0. Então, vamos pensar sobre o que faz 2z - 3 ser igual a 0. 2z - 3 = 0. Você pode adicionar 3 em ambos os lados, e você terá: 2z = 3. Dividindo ambos os lados por 2, temos que z = 3/2. Então, z não pode ser igual a 0, e também z não pode ser igual a 3/2. É assim que nós vamos restringir nosso domínio. Agora vamos simplificar. Assim, se nós a simplificarmos, esses dois se anulam, e ficamos com z + 1 sobre 2z - 3. E nós queremos manter essa restrição: z não pode ser igual a 0. E, na verdade, essa segunda restrição é redundante, porque ainda temos o 2z - 3 aqui. Basta olhar para essa expressão, e verá que o denominador não pode ser igual a 0. E, portanto, z não pode ser igual a 3/2. Portanto, se olharmos apenas à esquerda, poderemos deixar, e nem precisaremos reescrever isso, pois seria redundante. Claramente, vemos que ela não está definida para z = 3/2, mas... Bem, lá vai. Eu vou pedir para você, tendo em vista os valores pelos quais essa expressão não está definida, que você inclua isso também. Na verdade, deixe-me escrevê-lo. Não faz mal ser redundante. z é diferente de 3/2. Mas esta limitação aqui é realmente importante, porque não é óbvio olhando para essa expressão. Essa expressão por si só pode ser definida para z = 0, mas se queremos que ela seja algebricamente equivalente a essa aqui, ela tem que ser restringida do mesmo jeito.