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Como simplificar expressões racionais: termos de grau mais alto

Transcrição de vídeo

RKA - Vejamos se podemos simplificar esta expressão. Então, pause o vídeo e a examine para fazermos juntos agora. Tudo bem. Quando você olha para isso, parece que o numerador e o denominador podem ser fatorados. E, talvez, eles tenham fatores comuns que podem ser divididos entre numerador e denominador. Simplificando: primeiro, vamos examinar o numerador. x⁴ + 8x² + 7. À primeira vista, parece um pouco intimidante devido ao x⁴ aqui. Não é uma quadrática. É polinômio de 4º grau. Mas, como um monte de quadráticas que vimos no passado, parece ter um padrão. Por exemplo, se fosse x² + 8 + 7, você diria: "Ah, isso é bastante simples de fatorar." Quais dois números somados dão 8 e multiplicados dão 7? Bem, apenas dois números cujo produto é positivo, envolvem 7 positivo... Precisam ser positivos, já que somados dão 8. São 1 e 7. Então, temos x + 7 vezes x + 1. Bem, se ao invés de você pensar em termos de x e x², você só pensar em termos de x² e x⁴, exatamente a mesma coisa, então isso pode ser escrito como: x² + 7 vezes x² + 1. Se você quiser, pode fazer uma substituição dizendo que a = x². Dizendo isso, temos aqui: a = x². Então, a² + 8a + 7. Então, você fatora a + 7 vezes a + 1. O que ficaria: x² + 7 e x² + 1. Veja o que está acontecendo aqui: este é o termo de ordem maior. Este tem metade do grau... Encaixando nesse molde. Então, você pode fazer uma substituição ou apenas reconhecer: "Em vez de lidar com x², estou lidando com x⁴." OK, esse é o numerador. Agora, vamos pensar sobre o denominador. No denominador, ambos os termos são divisíveis por 3x. Então, fatoramos em 3x. Logo, temos 3x vezes... Se você fatorar o 3x aqui, então... 3 dividido por 3 é 1, e x⁵ dividido por x é x⁴. E, fatorando 3x aqui, ficamos com 1. E até agora isso não parece muito útil. Eu não vejo um x⁴ - 1 nem 3x em cima. Talvez possamos ir mais além aqui embaixo, nesse x⁴ -1. Isso é uma diferença de quadrados. Você pode dizer: "Estou acostumado a reconhecer uma diferença de quadrados como a² - 1". O que pode se escrever como a + 1 vezes a - 1. Bem, isso é a² - 1 se você disser que a = x². Então, este seria a² - 1. Então, vamos reescrever tudo isso. Vamos reescrever. Então, isso será tudo igual, mesmo numerador... Vamos fazê-lo em verde, mesmo numerador. x² + 7, não dá para continuar isso, vezes x² + 1... Também paramos aqui. Sobre 3x vezes... E isso, verei como uma diferença de quadrados. Se este é x², ao quadrado, este obviamente é um quadrado, de modo que teremos x² + 1. Vezes x² - 1. Agora, temos x² + 1 no numerador e também no denominador. Então, podemos cancelá-los. E vou ficar, no numerador, com x² + 7 sobre 3x vezes x² - 1. Agora... Isso parece simples. E queremos ser cuidadosos porque, sempre que anulamos, queremos nos certificar de restringir os x para os quais a expressão é definida, para elas serem algebricamente equivalentes. Então, para esta expressão ser indefinida, obviamente, x não pode ser igual a 0 e x não pode ser igual a mais ou menos 1. 1 positivo ou negativo faria esta parte da expressão ficar igual a 0. Portanto, x não pode ser 0 nem mais ou menos 1. Porque faria esta parte 0. Mas isso bem aqui... A menos que assumamos lidar somente com números reais, isso nunca pode ser igual a 0, porque x² é sempre positivo. E você o está somando um valor positivo. Então esta parte, esse fator, nunca "indefinirá" a coisa toda. Então, podemos apenas fatorá-lo ou anulá-lo sem nos preocuparmos. E, por isto, esta é algebricamente equivalente a esta, que tínhamos no início. Agora podemos escrever restrições delas se quisermos. Você sabe, se alguém me perguntar para quais x esta expressão não está definida... Para os valores de x que fariam o denominador 0, pois divisão por 0 não é definida. Ou x igual a mais ou menos 1, que faria um denominador 0 também. Mas isto vem diretamente da expressão, para que a primeira equação e a segunda sejam algebricamente equivalentes. Mas, se você quiser, você pode expandir aqui em baixo um pouco, multiplicando. Isso é equivalente a x² + 7 sobre 3x³ - 3x. Portanto, todas essas expressões aqui são equivalentes.