Análise de assíntotas verticais de funções racionais

RKA4JL - Descreva o comportamento da função q(x) próximo da sua assíntota vertical x igual a -3. Primeiro vamos falar o que significa uma assíntota. Você tem uma determinada função y em função de x e vamos colocar uma assíntota horizontal inicialmente (deixe-me colocar outra cor aqui). Vamos colocar uma assíntota horizontal inicialmente e temos uma função que pode tender a essa assíntota de várias formas. Ela pode ser uma função que tenda dessa forma aqui, ela pode tender dessa outra maneira aqui, dessa maneira assim. Ela pode tender assim. Como temos no nosso caso uma assíntota vertical, nós temos uma tendência da função (deixe-me colocar um ponto qualquer) a se aproximar desse valor de alguma forma, ou dessa forma aqui ou se aproximar dessa outra maneira, dessa forma assim. Ou seja, ela se aproxima da assíntota vertical. Normalmente, quando temos uma assíntota vertical, a função não é definida nesse ponto. Nós temos q(x) igual a (x² mais 3x mais 2) dividido por (x mais 3). A primeira coisa que temos que fazer é fatorar o numerador para saber se há um ponto de indefinição. Para saber quais são os fatores desse polinômio, vamos perguntar quais são os números que somados dão 3 e multiplicados dão 2. 2 e 1. Portanto, aqui em cima nós temos (x mais 2) vezes (x mais 1). Se você multiplicar (x mais 2) vezes (x mais 1) vai dar esse polinômio. Nós vemos com isso que quando x tender a -3, ele não vai influenciar em nada os numeradores. E quando x tender a -2 ou tender a -1, não influencia em nada, ou não zera o denominador. Significa que essa função tem dois zeros. Um zero em -2 e outro em -1, pois se você colocar x igual a -2 vai dar -2 mais 2, zero e -2 mais 1, -1. Zero vez qualquer coisa é zero dividido por -2 mais 3 dá 1, ou seja, isso tudo dá zero. E se x for -1, esse fator fica sendo zero, -1 mais 1 dá zero, e aqui fica -1 mais 2, 1 dividido por -1 mais 3, que vai ficar 2. Ou seja, nada é invalidado e temos um fator igual a zero, ou seja, essa função tem um valor igual a zero em -1. Nossa preocupação é a aproximação com -3. Quando ela se aproxima de -3 pela esquerda, esse sinal que está acima do 3 significa que ela está se aproximando pela esquerda, ou seja, com valores menores que -3 (-3,1, -3,2 e assim sucessivamente). E há a aproximação pela direita. A aproximação pela direita são valores maiores do que -3 (ou seja, -2,9, -2,8), valores que são maiores do que -3. Esse "mais" significa que ele está se aproximando de -3 e está se aproximando pela direita. Então vamos analisar o que acontece com o denominador quando ele se aproxima pela esquerda e quando ele se aproxima pela direita. Quando ele se aproxima de -3, (x mais 2) e (x mais 1) não vão ter influência nenhuma. A única influência vai ser o denominador, que vai tender a zero. Portanto, -3 mais 2, tanto pelo lado esquerdo como pelo lado direito de aproximação de -3, vai dar -3 mais 2 dá -1, aqui vai dar um número negativo, e -3 mais 1 vai dar -2, que é um número negativo. Por que eu estou vendo esse estudo de sinal? Porque aqui há uma multiplicação. "Menos" com "menos" dá “mais” e então o sinal do denominador vai me dizer se ele está tendendo a "mais infinito" ou a "menos infinito", uma vez que ele está se aproximando de -3. Se ele está se aproximando de -3 significa que essa soma está se aproximando de zero. Se ele está se aproximando de zero e aqui você tem números que não são influenciados quando x tende a -3, nossa função toda vai tender ou a "mais infinito" ou a "menos infinito", dependendo do sinal. Portanto, se ele se aproximar pela esquerda, ou seja, se ele aproximar com valores menores do que -3, essa soma vai ficar um número que é menor do que -3 (como -3,1, -3,2) e que somado com 3 vai dar um número negativo. Portanto, temos "menos" com "menos" dá "mais", e com "menos" dá "menos" quando ele se aproxima pela esquerda. Portanto, a resposta (B) é possível e a resposta (D) é possível. Quando você se aproxima pela esquerda, q(x) tende a menos infinito. Vamos ver, agora, quando ele se aproxima pela direita. Quando ele se aproxima pela direita, os sinais do numerador não vão mudar pois eles não são influenciados com a aproximação de x igual a -3. O que vai influenciar é o sinal do denominador. Quando x tende a -3 pelo lado direito (como -2,9, -2,99 e assim sucessivamente), você vai ter um número maior do que -3 somado a 3 (ou seja, como um -2,9 mais 3). Essa soma vai dar uma soma positiva pois esse número é maior do que -3. Se ele é maior do que -3 (como -2,5, e assim sucessivamente) somado a 3 vai dar um número positivo. Portanto, quando ele tende a -3 pelo lado direito, essa soma é positiva. Ficamos, então, com... "menos" com "menos" dá "mais", com "mais" dá "mais", ou seja, ele tende a mais infinito quando x tende a -3 pelo lado direito. Portanto, a resposta que satisfaz é a letra (B).