Representação gráfica de funções racionais 3

RKA1MP Neste vídeo, vamos ver se conseguimos colocar uma função no gráfico. Uma função racional é apenas uma função que tem uma expressão no numerador e no denominador. Tem um polinômio no numerador, vamos ver, tem x² e um polinômio no denominador, sobre x² - 16. Podemos tentar traçar seu gráfico somente substituindo alguns valores na expressão e ligando seus pontos. E isso é o que uma calculadora gráfica faria. Antes de tentar calcular alguns pontos para traçar o gráfico, quero, primeiro, ter uma noção de como será este gráfico. Para entender, quero ver o que acontece quando "x" fica muito grande, muito grande ou quando "x" fica muito, muito pequeno e "x" vai na direção negativa. Na verdade, quero entender o que acontece com o valor absoluto de "x" quando ele se torna muito alto ou quando tende para o infinito. O que eu quero dizer é que, conforme "x" cresce na direção positiva, ou conforme "x" decresce para a direção negativa, o que acontece com o valor desta função? Vamos usar uma calculadora, a boa e velha calculadora. Não vamos usar a parte gráfica disso ainda, vamos só tentar alguns valores. O que acontece quando "x" é igual a 10? O resultado vai ser igual a quando "x" for igual a -10, porque, quando coloco -10 aqui, você eleva ao quadrado obtendo 100. O mesmo resultado que obteria para "x" igual a 10. Igualmente, aqui, se coloca -10² e obtém o mesmo resultado que se substituir "x" por 10 positivo. Independente do "x" muito grande ou "x" muito pequeno, vai obter o mesmo valor porque está elevando esses valores ao quadrado. Se eu obtiver 10², dividido por 10² menos 16, obtenho 1,19. Agora o que acontece se "x" for um pouco maior? O que acontece com "x" igual a 100? A gente tem 100², dividido por 100² menos 16. Eu estou chegando ainda mais perto de 1. Quando "x" for 10, "y" será igual a 1,19. Quando "x" for 100, "y" será 1,0016. Só para a gente se divertir, vamos tentar 1000. 1000² dividido por 1000² menos 16. E estamos perto de 1. Conforme "x" vai ficando grande e grande, nosso "y" fica mais perto e perto de 1. Seria verdade se fosse 1 menos 10 porque -10², sobre -10² menos 16 terá exatamente o mesmo valor porque -1² será 1 positivo, será igual a 10². Independentemente de "x" ficar muito grande ou muito pequeno, estaremos nos aproximando de "y" igual a 1. Poderia tentar com 1.000.000, se quisesse. Teria um número mais próximo de 1. Conforme o valor de "x" se aproxima do infinito, o "y" está se aproximando de 1. Outra forma de pensar é: o gráfico desta função vai se aproximar da reta "y" igual a 1. Vou traçar no gráfico a reta "y" igual a 1. Vou fazer isso como uma reta pontilhada, porque esse não é o gráfico da nossa função, mas é uma reta da qual nossa função está se aproximando. Este é o gráfico de "y" igual a 1. Esta é a ideia de uma função ou do gráfico de uma função aproximando-se de uma reta, mas nunca tocando nela. O gráfico ficará cada vez mais próximo dessa reta "y" igual a 1, nessa direção, mas nunca perto o bastante para tocá-la. Essa reta que o gráfico está se aproximando, é chamada de assíntota. Assíntota. E ficará ainda mais claro quando eu traçar o gráfico desta função. Vamos trabalhar. E, uma vez que é uma reta mais horizontal, chamamos de assíntota horizontal. Essa reta é onde nosso gráfico aproxima conforme "x" cresce na direção positiva ou decresce na direção negativa. Vamos pensar sobre algumas outras coisas interessantes nessa função. Uma coisa que poderia perceber é que é uma diferença de quadrados. x² menos 4². Dá para reescrever como x² sobre "x" mais 4, vezes "x" menos 4. O que vai acontecer quando "x" se aproximar tanto do 4 quanto do -4? Primeiro de tudo, substitua esses valores. Se "x" é igual a 4, o que vai acontecer? Essa expressão, esse termo, vai ser igual a zero e vamos dividir por zero. Não podemos fazer isso. A ideia é a mesma para quando "x" é igual a -4: estaríamos dividindo por zero, essa expressão vai ser igual a zero. Não podemos fazer. A gente poderia dizer que esta função está indefinida para "x" é igual a mais ou menos 4. Indefinida para x = ± 4. Não dá para ser igual àqueles valores, porque estaria dividindo por zero em qualquer uma destas circunstâncias. Agora, o que acontece quando nos aproximamos daqueles valores? O que acontece quando "x" se aproxima de -4? Vamos fazer, só por diversão. O que acontece conforme "x" se aproxima de -4? Digamos que estamos nos aproximando da direção negativa, então, vamos tentar aqui na nossa super calculadora. Digamos que queremos partir da direção negativa. Vamos substituir -4,1 na expressão. Se tiver -4,1² dividido por -4,1² menos 16, quanto dá? 20,75. Então, a gente tem esse número. Agora, vamos escolher um número mais perto de -4. Vamos nos aproximar um pouco de -4. Em vez de -4,1, a gente vai fazer -4,01. Deixa eu mudar para 4,01, quanto vai dar? 200. Então, estamos obtendo valores cada vez mais altos. Vamos tentar -4,001. Vamos tentar. Opa, não é o que eu queria fazer. Eu queria fazer isto. Vamos tentar, não é isso que eu queria fazer. Vamos ver, quero calcular para -4,001. Quanto obtemos? Muito bem. Vamos obter 2000. Conforme chegamos mais perto de -4 pela direção negativa, obtemos números maiores e você pode tentar, substitua por -4,00001, irá obter números maiores. Se substituir por 4,0001, provavelmente, obterá a 20.000. Conforme chegamos mais próximos de -4, obtemos números maiores. Dá para dizer que, conforme "x" se aproxima de -4, "y" tende ao infinito, aumenta seu valor. Mas, não podemos nunca chegar a "x" igual a 4, está indefinido ali. 4 irá fazer o denominador ser igual a zero, então o que queremos fazer aqui é "x" nunca pode ser igual a -4. "x" é igual a -1, -2, -3, -4. Nunca dá para ter "x" igual a -4. Deixa eu desenhar "x" igual a -4 com uma reta pontilhada aqui. "x" é igual a -4. Nunca podemos chegar lá, mas, conforme aproximamos pelo lado negativo, a gente tinha 4,1, depois 4,01 e fomos para os valores maiores e maiores, e também sabemos que, conforme vamos mais para o lado esquerdo, como teremos valores mais altos, aquele "y" vai chegar perto de 1. Dá para ter uma ideia como esta parte do gráfico fica. Nessa parte do gráfico, vai aparecer com alguma coisa assim. Conforme "x" decresce para números negativos, chega mais perto de 1, e conforme "x" fica mais perto de -4 e fica mais perto do infinito, você vai chegar mais perto de, vai ficar mais alto e é uma forma fácil de dizer. Agora, assim como em "x" igual a -4, "x" igual a 4 irá também ser um ponto onde o gráfico está indefinido. Deixa eu colocar no gráfico 1, 2, 3, 4 aqui. Bem aqui. "x" é igual a 4. Mais uma vez, o que acontece quando nos aproximamos de "x" igual a 4, vamos dizer, da direção positiva? Conforme se aproxima de 4 da direção positiva, o que irá acontecer? É como tentar "x" igual a 4,01 ou "x" igual a 4,001 ou "x" igual a 4,0001. Estamos apenas chegando mais e mais perto de "x" igual a 4. Esses valores são exatamente os mesmos valores que substituímos na nossa calculadora, exceto que colocamos o menos antes, certo? Considerando a definição dessa função, se colocar números negativos ou positivos, obteremos os mesmos resultados. Este gráfico é simétrico. "x" é igual a -5 e terá o mesmo valor que "x" igual a 5. "x" igual a -10 e terá o mesmo valor que "x" igual a 10. Dá para verificar com sua calculadora, se quiser. Se substituir esses valores, vai ver, conforme chegamos mais e mais perto de 4, que vamos nos aproximar de números maiores, esses mesmos números aqui. O gráfico, conforme chegamos mais e mais perto de 4, vamos nos aproximando de números cada vez mais altos. Conforme "x" fica mais e mais alto e a gente vê que tinha essa assíntota horizontal, "y" fica mais e mais perto de 1. Como chamamos esta assíntota horizontal, esta reta vertical, "x = -4" e "x = 4", chamamos estas retas de assíntotas verticais. Assíntotas verticais. Estas são retas assíntotas. Mais uma vez, elas são retas das quais o gráfico se aproxima, mas nunca toca. É o que está acontecendo aqui. Dá para pensar sobre o que está acontecendo no gráfico aqui dentro. Você pode pensar de várias formas. Dá para falar: "Bom, o que acontece conforme "x" se aproxima de 4 da direção negativa?" Vamos tentar da direção negativa. O que acontece se fizer 3,9² dividido por 3,9² menos 16? Obtém -19,25. Agora, o que acontece se fizer 3,99? Deixa eu colocar outro 9 aqui, vamos chegar mais perto de 4 e fazer do lado esquerdo, conforme aproximamos de 9. Insira outro 9 aqui, o resultado é ainda mais negativo. Vamos colocar mais um 9. e será ainda mais negativo. Vou fazer 3,999, chegar ainda mais pertinho de 4. Você está ficando ainda mais negativo. E isso também será verdade se fizer -3,9 ou 3,9991 ou -3,999 porque, quando fazemos ao quadrado, os negativos e positivos dão o mesmo resultado. Faz um negativo ao quadrado e obtenha positivo. Conforme nos aproximamos de 4, 3,9 ou 3,99 chegamos mais e mais perto de 4. Estamos obtendo um número maior, nos aproximamos de negativos infinitos. E conforme nos aproximamos, vou colocar aqui no gráfico, conforme nos aproximamos desta direção, vamos obter um menor. A gente quer não tocar na assíntota. Vai aparecer alguma coisa assim. Conforme nos aproximamos do lado esquerdo, vamos ficando cada vez menores. E isso também vai ser verdadeiro se nos aproximamos de -4 do lado direito. Conforme substituímos -3,9 ou -3,99, estamos caindo e vai aparecer alguma coisa assim. Agora que temos uma ideia geral de como é o gráfico, é uma boa hora para, talvez, traçar alguns pontos. E a forma mais fácil é o que acontece quando "x" é igual a zero. Você tem 0² sobre (0² - 16), então, o ponto onde "x" é igual a zero, a gente obtém zero sobre -16, que é zero. O ponto (0,0) está nessa curva. Dá para tentar alguns pontos se quiser, mas a forma geral aqui irá aparecer com alguma coisa assim. Dá para traçar mais pontos se quisesse descobrir, exatamente, como a curva vai se comportar, mas aqui está a estrutura geral. E usamos a calculadora. Eu fiz isso porque realmente queria mostrar porque está decrescendo assim. E, se pensar a respeito, faz todo sentido. Conforme você chega mais perto, digamos que chegue mais perto de 4, de qualquer forma, chega mais perto de 4 e vai se tornar um número menor, porque esta é a diferença entre "x" e 4. Isso está se tornando um número cada vez menor. Quando você faz 1 sobre aquilo, certo? Pode, essencialmente, ver como "x²" sobre "x + 4" vezes 1 sobre "x - 4". Se estiver diminuindo, 1 sobre um número bem pequeno é número grande, então, como pode imaginar, vai ficar maior. e dependendo, se estiver se aproximando do positivo ou negativo. Se este é um número pequeno negativo ou número pequeno positivo, irá inverter o sinal. Mas, de qualquer forma, estamos chegando a uma magnitude grande na direção negativa porque a diferença entre "x" e 4 deste lado é negativa, certo? 3,9 menos 4 é 0,1. Pegue o inverso que é 10. Estamos obtendo números negativos aqui. Você pega o inverso e vai obter um número com valor alto e módulo mais negativo. Realmente, eu quero dar a você aquela intuição, mas a forma geral de conseguir colocar no gráfico esse tipo de coisa, a primeira coisa a fazer é identificar assíntota horizontal. Se a magnitude do nosso "x" é muito grande, então obtemos valores positivos muito grandes ou valores negativos muito pequenos. Se quiser tente em uma calculadora. Literalmente, se tentar o valor de 1.000.000, 1.000.000.000, vai ter a resposta, mas a forma que também pode pensar é conforme "x" fica muito alto, pode ver esta coisa, esses termos crescendo muito rápido. Quer dizer, é apenas um termo constante, esse termo não importa mais, se for 1.000.000, quem se importa com 16? Conforme "x" ficar muito alto, pode dizer que "y" é aproximadamente "x²" sobre "x²" e esses dois termos dominam, você não precisa se preocupar mais com 16. E, claro que é igual a 1 que é, exatamente, o que obtivemos quando substituímos números com valores grandes. Em um problema como esse, onde tem o mesmo coeficiente, ou onde tem o mesmo grau no numerador e no denominador, você olha para o coeficiente daqueles termos. Neste caso, o coeficiente é 1 e 1. Então, nossa assíntota horizontal será 1 dividido por 1 ou "y" igual a 1. Se fosse 2x² sobre "x² - 16", nossa assíntota horizontal seria "y" igual a 2. A gente se aproximaria desta reta. Se fosse um -2, nossa assíntota horizontal seria "y" igual a -2. É como você identifica assíntota horizontal, onde tem o mesmo grau no numerador e no denominador. Se o denominador tem um grau maior, então o denominador ficará mais alto muito mais rápido do que o numerador, e sua assíntota vai ser zero. Vou te mostrar um exemplo disso no futuro. E, obviamente, esse seu numerador tem um grau maior do que esse numerador, vai crescer mais rápido do que seu denominador e não terá nenhuma assíntota. Você continuará crescendo ou continuará na direção negativa. E isso, na verdade, é o caso com todos os polinômios vimos. Você pode fazer todos como sendo 1. Em cada caso, não tem assíntota horizontal. Agora, assíntota vertical dá para identificar, essencialmente, fatorando o denominador e descobrindo onde é igual a zero. Esses são os pontos onde a função não está definida e vou te mostrar mais tarde que tem alguns casos especiais onde eles não serão assíntotas verticais, mas só no próximo vídeo. Mas, em geral, se fatorar os termos de baixo e eles não se cancelarem com nada no numerador, deve lidar com uma assíntota vertical. Se eu tivesse outro "x" menos 4 aqui em cima, se meu numerador fosse "x²" vezes "x - 4", minha expressão simplificada a isto, a equação ainda estaria indefinida para "x" igual a 4 porque daria zero no denominador. Mas, uma vez que "x - 4" é cancelado com "x - 4" no numerador, não teria sido uma assíntota vertical. Vamos olhar para isso mais para frente, mas essa equação não era assim. A regra geral para identificar a assíntota vertical é fatorar o denominador, descobrir onde o denominador se iguala a zero e, se esses termos não se cancelarem com qualquer termo no numerador, aqueles são assíntotas verticais. E para descobrir o comportamento dentro das assíntotas, você pode traçar alguns pontos, pode tentar alguns outros pontos, pode, na verdade, substituir os valores para "x" e descobrir quanto é "y". Agora, só para validar a resposta que esperamos estar correta, vamos traçar, na calculadora, o gráfico, nossa função racional. Vou ligar e colocar no gráfico. A gente diz que "y" é igual "x²", dividido por "x²" menos 16 e vamos ver. O que obtemos? Não, só quero colocar no gráfico. Minha variação está fora. Vou fazer minha variação e ver o valor mínimo de "x" que eu quero para "x", digamos que seja -10, meu valor máximo para "x" é 10. A escala de "x" é 1, o valor mínimo de "y" que quero é -10. O valor máximo de "y" é 10. A escala de "y", eu quero 1. Agora, é colocar no gráfico. Vamos lá, olha só. Exatamente como desenhamos. Tem uma assíntota conforme "x" fica muito alto ou "x" fica muito, muito pequeno, que a assíntota é "y" igual a 1. Tem nossa assíntota vertical, isso está no gráfico porque tentou conectar os pontos, mas, essencialmente, porque colocamos no gráfico nossas assíntotas e, na verdade, aquilo não faz parte do gráfico. Mas, conforme nos aproximamos o "x" de 4, acho que pode dizer que a gente tende a números muito pequenos. Conforme aproximamos "x" de -4, ficamos também com números muito pequenos porque, em cada uma das situações, esse termo será negativo. Conforme aproxima -4 desse lado, esse termo aqui será, esse termo vai ser positivo, mas esse termo vai ser negativo. Um negativo vezes um positivo, dá para jogar com isso se quisesse, mas nos aproximamos do infinito negativo em qualquer um dos casos. E conforme "x" tende ao infinito positivo ou negativo, os valores de "y" se aproximam de 1. Eu espero que tenha achado divertido.