Problema de equações racionais: eliminação de soluções

RKA1MP Duas mangueiras diferentes estão sendo usadas para encher um viveiro de peixes. Usadas juntas, as duas mangueiras levam 12 minutos para encher o viveiro. Se usada sozinha, uma mangueira consegue encher o viveiro dez minutos mais rápido do que a outra. Grifei dez minutos mais rápido que a outra mangueira. Quanto tempo demora para cada uma das mangueiras encher o viveiro separadamente? Vamos pensar sobre cada uma das mangueiras. Tem uma maneira mais rápida e uma mangueira mais lenta. Digamos que a mangueira mais rápida enche o viveiro, digamos que ela demore "f" minutos por viveiro. Quanto tempo vai demorar a mangueira mais lenta? Muito bem, a mangueira rápida faz isso em 10 minutos a menos. Ela é 10 minutos mais rápida. A mangueira mais lenta vai demorar 10 minutos a mais, a mais lenta vai demorar "f" mais 10 minutos por viveiro de peixes ou por viveiro. Isso está em minutos por viveiro, mas, se quisermos somar as velocidades, a gente precisa pensar em viveiros por minuto. Vamos reescrever cada uma dessas expressões como viveiro por minuto. Você pode escrever como "f" minutos por um viveiro ou "f + 10" minutos por um viveiro. E, se pegar o inverso de cada uma dessas expressões, essas velocidades são equivalentes a um viveiro por F minutos. Não está dizendo nada mais além disso. Só estou invertendo a velocidade. Ou pode encarar como 1 sobre "f" viveiros por minuto. A mesma lógica, basicamente, poderia reescrever esta velocidade como 1 sobre "f + 10" viveiros por minuto. Agora, tem a velocidade da mangueira mais rápida e tem a velocidade da mangueira mais lenta. Quantos viveiros por minuto a mangueira mais rápida enche? Quanto viveiros por minuto a mangueira mais lenta enche? Se somar essas duas velocidades, saberemos os viveiros por minuto que as duas enchem quando estão atuando juntas. Daí, tem 1 sobre "f" viveiros por minuto mais 1 sobre "f + 10" viveiros por minuto. Essa é a mangueira mais rápida e essa é a mais lenta. E isso vai nos dizer quantos viveiros por minuto elas enchem juntas. A gente tem essa informação, disseram que as duas mangueiras demoram 12 minutos. Juntas, elas demoram 12 minutos por . Juntas. Qual é a velocidade delas trabalhando juntas, em função de viveiro por minuto? Dá para encarar isso como 12 minutos por viveiros. Poderia pegar o inverso disso ou pegar a velocidade em função de viveiros por minuto e teria 1 sobre 12 minutos, desculpa, 1 sobre 12 viveiros por minuto. Em um minuto juntas, elas enchem 1/12 de um viveiro e faz sentido porque demoram 12 minutos para encher viveiro todo. Em um minuto, elas só encherão 1/12 do viveiro, essa é a velocidade para encher um viveiro, em viveiros por minuto, para as duas mangueiras trabalhando juntas. Agora, só precisa calcular "f" e depois f + 10, será o tempo que leva a mangueira mais lenta. Vamos ver o que dá para fazer, podemos multiplicar os dois lados dessa equação por "f" e por f + 10, por "f" e por f + 10. Vamos fazer isso. Vou multiplicar os dois lados desta equação vezes "f" e f + 10. "f" e f + 10. Vamos descer um pouquinho. Vamos para esquerda e assim tenho um pouco mais de espaço. Vamos distribuir esse "f" vezes f + 10. Se multiplicar "f" vezes f + 10 vezes 1 sobre "f", mais 1 sobre f + 10, esse "f" e esse "f" vão se cancelar e vamos ficar somente com f + 10. É o que acontece quando você multiplica esse termo vezes "f" vezes f + 10. Agora, quando multiplica esse termo, quando multiplica 1 sobre f + 10, vezes "f", vezes f + 10, esses se cancelam e você acaba ficando somente com "f". Você tem mais "f" é igual a, e tem 1 sobre 12, na verdade, em um segundo, vou multiplicar todos os lados dessa equação por 12. Vou fazer daqui a pouco. Digamos que isso será igual a 1 sobre 12 vezes f². "f" vezes "f" é f², mais 10f. Vamos multiplicar os dois lados dessa equação por 12. Eu poderia ter feito isso no último passo para não ficar com nenhuma fração. Do lado esquerdo, tem 12f mais 120, mais 12f. Do lado direito, isso se cancela e você fica com f² mais 10f. Agora, tem uma quadrática, só tem que colocar uma forma que sabemos como manipular ou lidar com ela. Antes disso dá para simplificar. Tem um 12f e um 12f, isso fica 24f, mais 120 igual a f² mais 10f. E vamos tirar tudo do lado esquerdo. Vai tudo para o lado direito. A gente subtrai 24f e -120 dos dois lados da equação. Daí, tem -24F menos 120. O lado esquerdo fica zero, esse era o objetivo. O lado direito é f², 10f - 24f é -14f, menos 120. Agora, dá para fazer o fator. Se fizer 20 vezes... é, parece que vai dar certo. -26. Quando você pega o produto deles, tem -120. E -20 mais 6 é -14. Dá para fazer o fator desse lado direito como zero é igual a f - 20 vezes f + 6. Quando multiplica -20 vezes 6 tem -120. -20 mais 6 é -14. E a única forma que vai ser é igual a zero, que é esse f menos 20 é igual a zero ou f mais 6 é igual a zero. Some 20 dos dois lados desta equação e você tem "f" é igual a 20. Lembre-se, "f" é quantos minutos demora para mangueira rápida encher o viveiro. E, se pegar esse, subtrai 6 dos dois lados e tem "f" é igual a -6. Agora, quando falamos sobre quantos minutos demora para mangueira rápida encher o viveiro, não faz sentido dizer que ela demora -6 minutos para encher o viveiro, então não dá para usar essa resposta. A gente precisa de uma resposta positiva. Isso é quantos minutos demora para mangueira encher o viveiro. "f" é igual a 20. A mangueira rápida demora 20 minutos por viveiro. 20 minutos por viveiro. Essa é a mangueira rápida. E a mangueira lenta demora 10 minutos a mais, é f +10. Ela demora 30 minutos por viveiro. E terminamos! Não quero confundir, mas a mangueira rápida demora 20 minutos, a lenta da demora 30 minutos por viveiro. Se fossem fazer juntas, demorariam 12 minutos que é um pouco mais da metade. Se tivesse duas mangueiras rápidas, demoraria 10 minutos, mas essa é um pouco mais devagar, então está demorando um pouco mais do que 10 minutos. Faz sentido. Demora 12 minutos quando elas estão trabalhando juntas.