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Matemática 3

Curso: Matemática 3 > Unidade 13

Lição 6: Multiplicação e divisão de expressões racionais
Matemática
Matemática 3
Funções racionais
Multiplicação e divisão de expressões racionais
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Divisão de expressões racionais

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Aprenda a calcular o quociente de duas expressões racionais.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma expressão racional é uma razão de dois polinômios. O domínio de uma expressão racional inclui todos os números reais, exceto àqueles que tornam seu denominador igual a zero.
Podemos multiplicar expressões racionais, em grande parte, da mesma maneira que multiplicamos frações numéricas — fatorando, cancelando fatores comuns e multiplicando numerador por numerador e denominador por denominador.
Se você não estiver familiarizado com isso, você vai querer ver primeiro os seguintes artigos:

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você vai aprender a dividir expressões racionais.

Divisão de frações

Para dividir duas frações numéricas, multiplicamos o dividendo (a primeira fração) pela inversa do divisor (a segunda fração). Por exemplo:
=29÷83=29⋅38Multiplique pela inversa=23⋅3⋅32⋅4Fatore numeradores e denominadores=23⋅3⋅32⋅4Cancele fatores comuns=112Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{2}{9}\div{\dfrac{8}{3}}\\\\\\ &=\dfrac{2}{9}\cdot {\dfrac{3}{8}}&&\small{\gray{\text{Multiplique pela inversa}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD2}{\greenD3\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Fatore numeradores e denominadores}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{2}}}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}\cdot \dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 4}&&\small{\gray{\text{Cancele fatores comuns}}}\\\\ &=\dfrac{1}{12}&&\small{\gray{\text{Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador}}} \end{aligned}
Também podemos usar esse método para dividir expressões racionais.

Exemplo 1: start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction, divided by, start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction

=3x44÷9x10=3x44⋅109xMultiplique pela inversa=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xFatore numeradores e denominadores=3⋅x⋅x32⋅2⋅2⋅53⋅3⋅xCancele fatores comuns=5x36Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^4}{4}\div\dfrac{9x}{10}\\\\\\ &=\dfrac{3x^4}{4}\cdot \dfrac{10}{9x}&&\small{\gray{\text{Multiplique pela inversa}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD3\cdot \greenD{x}\cdot x^3}{\goldD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD 2\cdot 5}{\blueD3\cdot 3\cdot \greenD{x}}&&\small{\gray{\text{Fatore numeradores e denominadores}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{x}}\cdot x^3}{\goldD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\goldD{\cancel{2}}\cdot 5}{\blueD{\cancel{3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{x}}}&&\small{\gray{\text{Cancele fatores comuns}}}\\\\ &=\dfrac{5x^3}{6}&&\small{\gray{\text{Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador}}} \end{aligned}
Como sempre, precisamos pensar sobre valores restritos. Ao dividir duas expressões racionais, o quociente é indefinido...
  • para qualquer valor que torne indefinida qualquer uma das expressões racionais originais,
  • e para qualquer valor que torne o divisor igual a zero.
Para resumir, a expressão que é o resultado de start fraction, A, divided by, B, end fraction, divided by, start fraction, C, divided by, D, end fraction é indefinida quando B, equals, 0, C, equals, 0 ou D, equals, 0.
Vamos examinar o dividendo e o divisor nesse problema para determinar quaisquer restrições de domínio.
  • O dividendo start fraction, 3, x, start superscript, 4, end superscript, divided by, 4, end fraction é definido para todos os valores de x.
  • O divisor start fraction, 9, x, divided by, 10, end fraction é definido para todos os valores de x, e é igual a zero para x, equals, 0.
Portanto, podemos concluir que o quociente resultante é definido para x, does not equal, 0. Essa é nossa resposta final:
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 6, end fraction para x, does not equal, 0

Teste seu conhecimento

1) Divida e simplifique o resultado.
start fraction, 3, divided by, 10, x, squared, end fraction, divided by, start fraction, 6, divided by, 15, x, start superscript, 5, end superscript, end fraction, equals
para x, does not equal
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemplo 2: start fraction, x, squared, plus, x, minus, 6, divided by, x, squared, plus, 3, x, minus, 10, end fraction, divided by, start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction

Como sempre, multiplicamos o dividendo pela inversa do divisor. Em seguida, fatoramos, cancelamos fatores comuns e multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. Por fim, consideramos os valores restritos.
=x2+x−6x2+3x−10÷x+3x−5=x2+x−6x2+3x−10⋅x−5x+3Multiplique pela inversa=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅x−5x+3Fatore=(x+3)(x−2)(x+5)(x−2)⋅(x−5)x+3Cancele fatores comuns=x−5x+5Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\div \dfrac{x+3}{x-5}\\\\\\ &=\dfrac{x^2+x-6}{x^2+3x-10}\cdot \dfrac{x-5}{x+3}&&\small{\gray{\text{Multiplique pela inversa}}}\\ \\ &=\dfrac{\blueD{(x+3)}\greenD{(x-2)}}{(x+5)\greenD{(x-2)}}\cdot \dfrac{x-5}{\blueD{x+3}}&&\small{\gray{\text{Fatore}}}\\\\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x+3)}}\greenD{\cancel{(x-2)}}}{(x+5)\greenD{\cancel{(x-2)}}}\cdot \dfrac{(x-5)}{\blueD{\cancel{x+3}}}&&\small{\gray{\text{Cancele fatores comuns}}}\\\\ &=\dfrac{x-5}{x+5}&&\small{\gray{\text{Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador}}} \end{aligned}
Vamos examinar o dividendo e o divisor nesse problema para determinar quaisquer restrições de domínio. É mais fácil usar a forma fatorada dessas expressões.
  • O dividendo start fraction, left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, divided by, left parenthesis, x, plus, 5, right parenthesis, left parenthesis, x, minus, 2, right parenthesis, end fraction é definido para x, does not equal, minus, 5, comma, 2.
  • O divisor start fraction, x, plus, 3, divided by, x, minus, 5, end fraction é definido para x, does not equal, 5, e é igual a zero para x, equals, minus, 3.
Portanto, podemos concluir que o quociente resultante é definido para x, does not equal, minus, 5, comma, minus, 3, comma, 2, comma, 5.
Em razão disso, devemos apontar que x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3. Não precisamos apontar que x, does not equal, minus, 5, uma vez que isso é entendido a partir da expressão. Essa é nossa resposta final:
start fraction, x, minus, 5, divided by, x, plus, 5, end fraction para x, does not equal, 5, comma, 2, comma, minus, 3

Teste seu conhecimento

2) Divida e simplifique o resultado.
start fraction, x, minus, 7, divided by, x, squared, minus, 4, end fraction, divided by, start fraction, x, squared, minus, 6, x, minus, 7, divided by, 2, x, plus, 4, end fraction, equals
Quais são as restrições sobre o domínio da expressão resultante?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

3) Divida e simplifique o resultado.
start fraction, x, plus, 4, divided by, x, squared, minus, 9, end fraction, divided by, start fraction, x, minus, 1, divided by, x, squared, minus, 4, x, plus, 3, end fraction, equals
Quais são as restrições sobre o domínio da expressão resultante?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

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