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Matemática 3

Curso: Matemática 3 > Unidade 13

Lição 6: Multiplicação e divisão de expressões racionais
Matemática
Matemática 3
Funções racionais
Multiplicação e divisão de expressões racionais
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Multiplicação de expressões racionais

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Aprenda a calcular o produto de duas expressões racionais.

Quais conceitos você deve conhecer antes de iniciar esta lição

Uma expressão racional é uma razão de dois polinômios. O domínio de uma expressão racional inclui todos os números reais, exceto àqueles que tornam seu denominador igual a zero.
Podemos simplificar expressões racionais cancelando fatores comuns no numerador e no denominador.
Se você não estiver familiarizado com isso, você vai querer ver primeiro os seguintes artigos:

O que você vai aprender nessa lição

Nessa lição, você vai aprender a multiplicar expressões racionais.

Como multiplicar frações

Para começar, vamos relembrar como multiplicar frações numéricas.
Considere esse exemplo:
=34⋅109=32⋅2⋅2⋅53⋅3Fatores os numeradores e denominadores=32⋅2⋅2⋅53⋅3Cancele os fatores comuns=56Multiplique\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{10}{9}\\\\ &=\dfrac{\greenD3}{\blueD2\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD2\cdot 5}{\greenD3\cdot 3} &&\small{\gray{\text{Fatores os numeradores e denominadores}}} \\\\ &=\dfrac{\greenD{\cancel{3}}}{\blueD{\cancel{2}}\cdot 2}\cdot \dfrac{\blueD{\cancel{2}}\cdot 5}{\greenD{\cancel{3}}\cdot 3}&&\small{\gray{\text{Cancele os fatores comuns}}} \\\\ &=\dfrac{5}{6}&&\small{\gray{\text{Multiplique}}} \end{aligned}
Em conclusão, para multiplicar duas frações numéricas, fatoramos, cancelamos fatores comuns e multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador.

Exemplo 1: start fraction, 3, x, squared, divided by, 2, end fraction, dot, start fraction, 2, divided by, 9, x, end fraction

Podemos multiplicar expressões racionais, em grande parte, da mesma forma como multiplicamos frações numéricas.
=3x22⋅29x=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xFatore numeradores e denominadores(Observe que x≠0)=3⋅x⋅x2⋅23⋅3⋅xCancele fatores comuns=x3Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{3x^2}{2}\cdot\dfrac{2}{9x}\\\\\\ &=\dfrac{3\cdot x\cdot x}{2}\cdot \dfrac{2}{3\cdot 3\cdot \goldD x}&& \small{\gray{\text{Fatore numeradores e denominadores}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Observe que } \goldD{x\neq 0})}\\ \\ \\&=\dfrac{\blueD{\cancel{3}}\cdot \greenD{\cancel{ x}}\cdot x}{\purpleC{\cancel{2}}}\cdot \dfrac{\purpleC{\cancel{2}}}{\blueD{\cancel{ 3}}\cdot 3\cdot \greenD{\cancel{ x}}}&& \small{\gray{\text{Cancele fatores comuns}}} \\ \\ &=\dfrac{x}{3}&&\small{\gray{\text{Multiplique numerador por numerador e denominador por denominador}}} \end{aligned}
Lembre-se de que a expressão original é definida para x, does not equal, 0. O produto simplificado deve ter as mesmas restrições. Por causa disso, devemos observar que x, does not equal, 0.
Escrevemos o produto simplificado assim:
start fraction, x, divided by, 3, end fraction para x, does not equal, 0

Teste seu conhecimento

1) Multiplique e simplifique o resultado.
start fraction, 4, x, start superscript, 6, end superscript, divided by, 5, end fraction, dot, start fraction, 1, divided by, 12, x, cubed, end fraction, equals
para x, does not equal
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • uma fração própria simplificada, como 3, slash, 5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7, slash, 4
  • um número misto, como 1, space, 3, slash, 4
  • um número decimal exato, como 0, comma, 75
  • um múltiplo de pi, como 12, space, start text, p, i, end text ou 2, slash, 3, space, start text, p, i, end text

Exemplo 2: start fraction, x, squared, minus, x, minus, 6, divided by, 5, x, plus, 5, end fraction, dot, start fraction, 5, divided by, x, minus, 3, end fraction

Mais uma vez, fatoramos, cancelamos quaisquer fatores comuns e, em seguida, multiplicamos numerador por numerador e denominador por denominador. Por fim, verificamos se observamos todos os valores restritos.
=x2−x−65x+5⋅5x−3=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Fatore(Observaça˜o x≠−1, e x≠3)=(x−3)(x+2)5⋅(x+1)⋅5x−3Cancele os fatores comuns=x+2x+1Multiplique\begin{aligned} &\phantom{=}\dfrac{x^2-x-6}{5x+5}\cdot\dfrac {5}{x-3}\\\\\\ &=\dfrac{(x-3)(x+2)}{5\cdot \goldD{(x+1)}}\cdot \dfrac{5}{\maroonD{x-3}}&&\small{\gray{\text{Fatore}}}\\ \\ &\quad \small{(\text{Observação }\goldD{x\neq -1}}, \text{ e }\maroonD{x\neq 3} )\\ \\ &=\dfrac{\blueD{\cancel{(x-3)}}{(x+2)}}{\greenD{\cancel{5}}\cdot({x+1})}\cdot \dfrac{{\greenD{\cancel{5}}}}{\blueD{\cancel{x-3}}}&&\small{\gray{\text{Cancele os fatores comuns}}}\\ \\ &=\dfrac{x+2}{x+1}&&\small{\gray{\text{Multiplique}}} \end{aligned}
A expressão original é definida para x, does not equal, minus, 1, comma, 3. O produto simplificado deve ter as mesmas restrições.
Em geral, o produto de duas expressões racionais é indefinido para qualquer valor que torne qualquer uma das expressões racionais originais indefinidas.

Teste seu conhecimento

2) Multiplique e simplifique o resultado.
start fraction, 5, x, cubed, divided by, 5, x, plus, 10, end fraction, dot, start fraction, x, squared, minus, 4, divided by, x, squared, end fraction, equals
Quais são todas as restrições do domínio da expressão resultante?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

3) Multiplique e simplifique o resultado.
start fraction, x, squared, minus, 9, divided by, x, squared, minus, 2, x, minus, 8, end fraction, dot, start fraction, x, minus, 4, divided by, x, minus, 3, end fraction, equals
Quais são todas as restrições do domínio da expressão resultante?
Escolha todas as respostas aplicáveis:

E agora?

Se você se sente confiante com relação às suas habilidades de multiplicação, já pode passar para como dividir as expressões racionais.

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  • Avatar orange juice squid orange style do usuário Arbex Baiesta
    Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Tem de verificar as restr...” de Arbex Baiesta
    Tem de verificar as restrições logo que se fatorar, ou seja, verificar o denominador antes de efetuar a simplificação, e depois de resolver a expressão,...a restrição para o denominador final...é isto? estamos chegando lá
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
  • Avatar orange juice squid orange style do usuário Arbex Baiesta
    Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “a maneira de verificar se...” de Arbex Baiesta
    a maneira de verificar se o domínio esta correto, é substituindo os valores na expressão?
    (2 votos)
    Avatar Default Khan Academy avatar do usuário
    • Avatar hopper jumping style do usuário Lucas De Oliveira
      Publicado há há 6 anos. Link direto para a postagem “Seria uma maneira. Se voc...” de Lucas De Oliveira
      Seria uma maneira. Se você tem uma função lógica que para determinados x ela resulta em um absurdo, então você tem que retirar esse conjunto do domínio da função. A principio você já olha a função e sabe mais ou menos o que não poderia ocorrer ali. Na verdade, a definição de dominio de uma função é os valores de x para os quais a função é válida.
      (3 votos)
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