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Matemática 3
Curso: Matemática 3 > Unidade 13
Lição 6: Multiplicação e divisão de expressões racionais- Multiplicação e divisão de expressões racionais: monômios
- Multiplicação de expressões racionais
- Divisão de expressões racionais
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- Divisão de expressões racionais: expressão desconhecida
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Divisão de expressões racionais: expressão desconhecida
Neste vídeo, calculamos o polinômio D para o qual (20y²-80)/D ÷ (4y²-8y)/(y³+9y²)=1 é verdadeiro para todos os valores de y para os quais é definido.
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Transcrição de vídeo
RKA - A equação a seguir é verdadeira para todos os valores reais de y para os quais a expressão à esquerda é definida, esta aqui, e D é uma expressão polinomial. Encontre D. O primeiro passo para resolvermos isso é deixarmos essa fração na forma de multiplicação. Ou seja, temos que substituir esse valor de divisão por um de multiplicação. E quando fazemos isso o numerador é invertido pelo denominador, e a expressão vai ficar desta maneira:
veja aqui que esses dois termos foram invertidos. Em seguida, veja que a expressão polinomial D encontra-se no denominador dessa expressão maior. Uma coisa que podemos fazer é multiplicar D dos dois lados da equação, de modo que, desse lado, o D do numerador irá se anular com o D do denominador, e 1 será multiplicado por D. Ou seja, a partir disso, temos que D é igual a esta expressão aqui. Para darmos continuidade, temos que fatorar. Isto é, simplificar essa expressão por meio de fatorações. Vamos começar com esse termo aqui.
Temos que 20y² - 80 tem como 20 o fator comum. Então vamos isolar esse 20,
que passa a multiplicar y² - 4. Note: 20y² dividido por 20 dá y². -80 dividido por 20, -4. Então, D passou a ser essa fórmula. Note que aqui temos uma diferença de quadrados, então podemos dar continuidade nessa fatoração. Vamos lá, então:
y² - 4 é y - 2 vezes y + 2. Agora, vamos lidar com esse termo aqui. Existe algum fator comum entre os dois elementos desse termo? Sim, é o y². Então, simplificando, vamos isolar o y². y³ dividido por y², y.
9y² dividido por 9y², 9. Desta maneira, terminamos de simplificar a parte do numerador dessa expressão. Agora nos resta o denominador. Novamente, há algum fator comum entre os dois elementos? Sim, o 4y.
Então, vamos isolá-lo como fizemos nas outras vezes, assim, obtemos 4y vezes y - 2. Porque 4y² dividido por 4y é y. -8y por 4y, -2. Agora, tudo o que nos resta é simplificar o numerador pelo denominador anulando termos que estão presentes tanto em cima quanto embaixo dessa fração. Portanto, y² anula com esse y. y - 2 anula com esse y - 2.
E 20 dividido por 4 dá 5. Finalmente, temos que nossa expressão D equivale
a 5y vezes y + 2 vezes y + 9. Note que há várias ípsilons para os quais essa expressão D pode não ser definida, uma vez que está em sua configuração o y no denominador. Então, por exemplo, se o y for 0, o denominador será 0.
Isso não é legal. Seja nós substituirmos o y aqui, no denominador, ou aqui, no numerador, que é invertido depois. Porém, ele não nos pede isso.
Ele nos informa que a equação é verdadeira para todos os valores reais de y, e nos pede que achemos a expressão D. Aqui está a expressão D.
E é isso.