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Multiplicadores de Lagrange, exemplos

Exemplos da técnica do lagrangiano e do multiplicador de Lagrange em ação.

Técnica dos multiplicadores de Lagrange, uma breve recapitulação

Otimização com restrição
Créditos de imagem: Por Nexcis (Trabalho próprio) [Domínio público], via Wikimedia Commons
Se você quiser maximizar (ou minimizar) uma função multivariável f(x,y,) sujeita à restrição de que outra função multivariável seja igual a uma constante, g(x,y,)=c , siga as seguintes etapas:
  • Etapa 1: introduza uma nova variável λ, e defina uma nova função L, como a seguir:
    L(x,y,,λ)=f(x,y,)λ(g(x,y,)c)
    Essa função L é chamada de "lagrangeana", e a nova variável λ é conhecida como um "multiplicador de Lagrange".
  • Etapa 2: iguale o gradiente de L ao vetor nulo.
    L(x,y,,λ)=0Vetor nulo
    Em outras palavras, encontre os pontos críticos de L.
  • Etapa 3: considere cada solução, que se parecerá mais ou menos com (x0,y0,,λ0). Insira cada uma delas em f. Ou melhor, primeiro subtraia o componente λ0, e depois a insira em f, já que f não tem λ como uma entrada. Qualquer solução que dê o maior (ou menor) valor é o ponto máximo (ou mínimo) que você está procurando.

Exemplo 1: restrições orçamentárias

Problema

Suponha que você está administrando uma fábrica, que produz algum tipo de aparelho que requer aço como matéria-prima. Seus custos são, predominantemente, o trabalho humano, que custa $20 por hora para seus funcionários, e o próprio aço, que custa $170 por tonelada. Suponha que sua receita R é modelada de maneira ampla pela seguinte equação:
R(h,s)=200h2/3s1/3
  • h representa as horas de trabalho
  • s representa as toneladas de aço
Se seu orçamento é de $20.000, qual é a receita máxima possível?

Solução

O custo de $20 por hora de trabalho e o custo de $170 por tonelada de aço nos informa que o custo total de produção, em função de h e s, é
20h+170s
Portanto, o orçamento de $20.000 pode ser traduzido na restrição
20h+170s=20.000
Antes de nos aprofundarmos nos cálculos, você pode ter uma ideia desse problema usando o diagrama interativo abaixo. Você pode ver quais valores de (h,s) produzem uma determinada receita (curva azul) e quais valores satisfazem a restrição (reta vermelha).
Como precisamos maximizar uma função, R(h,s), sujeita a uma restrição, 20h+170s=20.000, começamos escrevendo a função lagrangeana para esse cenário:
L(h,s,λ)=200h2/3s1/3λ(20h+170s20.000)
Em seguida, igualamos o gradiente L ao vetor 0. Isso é o mesmo que igualar cada derivada parcial a 0. Primeiro, lidamos com a derivada parcial em relação a h.
0=Lh0=h(200h2/3s1/3λ(20h+170s20.000))0=20023h1/3s1/320λ
Depois, trabalhamos com a derivada parcial em relação a s.
0=Ls0=s(200h2/3s1/3λ(20h+170s20.000))0=20013h2/3s2/3170λ
Por fim, igualamos a derivada parcial em relação a λ a 0, que é sempre igual à restrição. Na prática, obviamente, você pode escrever somente a própria restrição, mas escreverei a derivada parcial aqui apenas para deixar as coisas mais claras.
0=Lλ0=λ(200h2/3s1/3λ(20h+170s20.000))0=20h170s+20.00020h+170s=20.000
Resumindo, o sistema de equações que precisamos resolver é
0=20023h1/3s1/320λ0=20013h2/3s2/3170λ20h+170s=20.000
Na prática, você quase sempre deve usar um computador quando chegar a um sistema de equações como esse. Em especial, porque a equação provavelmente será muito mais complicada do que essa em situações reais. Depois de resolver o sistema, você encontrará a resposta, que é
h=2.0003666,667s=2.0005139,2157λ=A8.00045932,593
Isso quer dizer que você deve empregar em torno de 667 horas de trabalho, e comprar 39 toneladas de aço, o que dará uma receita máxima de
R(667,39)=200(667)2/3(39)1/3$51.777
A interpretação da constante λ=2,593 será deixada para o próximo artigo.

Exemplo 2: como maximizar o produto escalar

Problema: defina o vetor tridimensional v como se segue.
v=[231]
Considere todos os possíveis vetores unitários u^ no espaço tridimensional. Qual deles tem o maior produto escalar u^v?
O diagrama abaixo é bidimensional, mas não há grandes mudanças na intuição à medida que avançamos para três dimensões.
Produto escalar do vetor unitário
Analogia bidimensional para o problema tridimensional que temos. Qual vetor unitário u^ maximiza o produto escalar u^v?
Se você é fluente em produto escalar, já deve saber a resposta. É um daqueles fatos matemáticos de que vale a pena se lembrar. Se você não sabe a resposta, melhor ainda! Porque agora vamos encontrar e demonstrar o resultado utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange.
Solução:
Em primeiro lugar, precisamos explicitar por que esse é um problema de otimização com restrição. Escreva as coordenadas dos nossos vetores unitários como x, y e z:
u^=[xyz]
O fato de u^ ser um vetor unitário significa que sua magnitude é 1:
||u^||=x2+y2+z2=1x2+y2+z2=1
Esta é nossa restrição.
Maximizar u^v significa maximizar a seguinte grandeza:
[xyz][231]=2x+3y+z
A lagrangeana, no que diz respeito a essa função e à restrição acima, é
L(x,y,z,λ)=2x+3y+zλ(x2+y2+z21).
Agora, resolvemos L=0 igualando cada derivada parcial dessa expressão a 0.
x(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=2λ2x=0y(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=3λ2y=0z(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=1λ2z=0
Lembre-se de que igualar a derivada parcial em relação a λ a 0 apenas reitera a restrição.
λ(2x+3y+zλ(x2+y2+z21))=x2y2z2+1=0
Ao resolvermos x, y e z nas três primeiras equações acima, obtemos
x=212λy=312λz=112λ
Ah, que bela simetria. Cada uma dessas expressões tem o mesmo fator 12λ, e os coeficientes 2, 3 e 1 combinam com as coordenadas de v. Sendo bons alunos de matemática, como somos, não podemos desperdiçar uma boa simetria. Neste caso, ao combinarmos as três equações acima em uma única equação vetorial, podemos nos referir a u^ e v da seguinte maneira:
u^=[xyz]=12λ[231]=12λv
Analogia bidimensional mostrando os dois vetores unitários que maximizam e minimizam a grandeza u^v.
Portanto, u^ é proporcional a v! Geometricamente, isso quer dizer que u^ aponta no mesmo sentido de v. Há dois vetores unitários proporcionais a v,
  • Um vetor que aponta no mesmo sentido é um vetor que maximiza u^v.
  • Um vetor que aponta no sentido oposto é um vetor que minimiza u^v.
Podemos escrever esses dois vetores unitários normalizando v, o que é, na verdade, apenas dividir v por sua magnitude:
u^max=v||v||u^min=v||v||
A magnitude ||v|| é 22+32+12=14, então podemos escrever o vetor unitário que maximiza u^max de maneira explícita assim:
u^max=[2/143/141/14]

Simplesmente ignore a lagrangeana

Se você leu o último artigo, vai se lembrar de que o propósito da função lagrangeana L é o de que definir L=0 codifica as duas propriedades que um máximo restrito deve satisfazer:
  • Alinhamento gradiente entre a função-alvo e a função de restrição,
    f(x,y)=λg(x,y)
  • A restrição em si,
    g(x,y)=c
Ao trabalhar por meio de exemplos, você pode se perguntar por que nos damos o trabalho de escrever a lagrangeana. Não seria mais fácil simplesmente começar com essas duas equações ao invés de todas as vezes redefini-las a partir de L=0? A resposta rápida é sim, seria mais fácil. Se você se vê resolvendo um problema de otimização com restrição à mão, e se lembra da ideia de alinhamento gradiente, sinta-se livre para continuar o trabalho sem se preocupar com a lagrangeana.
Na prática, frequentemente é um computador que resolve estes problemas, e não um humano. Dado que existem muitos programas altamente eficazes para descobrir se o gradiente de uma dada função é 0, é ao mesmo tempo esclarecedor e prático encapsular nosso problema na equação L=0.
Além disso, a própria lagrangeana, bem como várias funções que dela derivam, surgem frequentemente no estudo teórico da otimização. Com base nisso, o raciocínio sobre o objeto único L, ao invés de várias condições, facilita a visualização da conexão entre ideias complexas. Sem mencionar o fato de ser mais rápido para escrever em um lousa.
Em ambos os casos, qualquer que seja sua relação futura com a otimização com restrição, é bom ser capaz de pensar sobre a lagrangeana em si mesma e sobre o que ela faz. Os exemplos acima ilustram como ela funciona e, esperançosamente, ajudam a esclarecer que L=0 incorpora tanto f=λg como g(x,y)=c em uma única equação.

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  • Avatar aqualine ultimate style do usuário Lucas Matheus
    qual é a função do lâmbda,oe melhor,o que ele significa na função lagrangeana?
    (2 votos)
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    • Avatar starky ultimate style do usuário wanderson costa oliveira
      Olá. Pelo que entendi é apenas uma constante de proporcionalidade decorrente do conceito geométrico de que se dois vetores apontam na mesma direção, então um é igual ao outro multiplicada por uma constante. A função dela é na função lagrangeana é simplesmente tornar geral esse fato já que para cada vetor vínculo há um lâmbda associado. Os vetores entram nessa história por causa do gradiente e o gradiente surge do fato de que se duas curvas são tangentes, então o vetor gradiente de cada uma apontam na mesma direção.
      (1 voto)
  • Avatar blobby green style do usuário Paulo Andrade
    Por favor, me ajuda neste exercicio:
    Dada a função w(t)= cos(πt) com os valores tabelados de t0 = 1,25 e t1 = 1,6, qual é a função de interpolação do primeiro grau, pelo método de Lagrange, para aproximar w(1,4) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente? Dada a função w(t)= cos(πt) com os valores tabelados de t0 = 1,25 e t1 = 1,6, qual é a função de interpolação do primeiro grau, pelo método de Lagrange, para aproximar w(1,4) e o erro absoluto (considerando cinco dígitos significativos por truncamento), respectivamente?
    (1 voto)
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