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Curso: Cálculo multivariável > Unidade 3

Lição 6: Otimização com restrições (artigos)

Multiplicadores de Lagrange, introdução

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A técnica dos "multiplicadores de Lagrange" é uma forma de resolver problemas de otimização com restrições. Super útil!

Conhecimentos prévios

Para onde estamos indo:

A técnica dos multiplicadores de Lagrange permite que você encontre o máximo ou o mínimo de uma função multivariável $f (x, y, \dots)$ ‍ quando há alguma restrição sobre os valores de entrada que podem ser usados.
Essa técnica se aplica apenas a restrições que são mais ou menos assim:
$g (x, y, \dots) = c$ ‍
Aqui, $g$ ‍ é outra função multivariável com o mesmo domínio que $f$ ‍, e $c$ ‍ é uma constante.
A ideia principal é procurar por pontos nos quais as linhas de contorno de $f$ ‍ e $g$ ‍ sejam tangentes entre si.
- Isso é o mesmo que encontrar pontos nos quais os vetores gradiente de $f$ ‍ e $g$ ‍ sejam paralelos entre si.
Todo o processo pode ser resumido a igualar o gradiente de uma certa função, chamada de lagrangeana, ao vetor nulo.
Etapa 1: introduza uma nova variável $λ$ ‍, e defina uma nova função $L$ ‍, como a seguir:
‍ $L (x, y, \dots, λ) = f (x, y, \dots) - λ (g (x, y, \dots) - c)$ ‍
Essa função $L$ ‍ é chamada de "lagrangeana", e a nova variável $λ$ ‍ é conhecida como um "multiplicador de Lagrange".
Etapa 2: iguale o gradiente de $L$ ‍ ao vetor nulo.
‍ $\nabla L (x, y, \dots, λ) = 0 \leftarrow Vetor nulo$ ‍
Em outras palavras, encontre os pontos críticos de $L$ ‍.
Etapa 3: considere cada solução, que se parecerá mais ou menos com $(x_{0}, y_{0}, \dots, λ_{0})$ ‍. Insira cada uma delas em $f$ ‍. Ou melhor, primeiro subtraia o componente $λ_{0}$ ‍, e depois a insira em $f$ ‍, já que $f$ ‍ não tem $λ$ ‍ como uma entrada. Qualquer solução que dê o maior (ou menor) valor é o ponto máximo (ou mínimo) que você está procurando.

Exemplo motivador

Suponha que você queira maximizar essa função:

$f (x, y) = 2 x + y$ ‍

Suponha também que você esteja se limitando a atribuir apenas valores de entrada

(x, y)

que satisfaçam à seguinte equação:

$x^{2} + y^{2} = 1$ ‍

Em outras palavras, para quais pontos

(x, y)

círculo trigonométrico

obtemos o maior valor de

2 x + y

Estamos nos deparando com o chamado problema de otimização com restrição. O limite aos quais os pontos

x^{2} + y^{2} = 1

se submetem é chamado de "restrição" e

f (x, y) = 2 x + y

é a função a ser otimizada.

Uma das maneiras de visualizar isso é: primeiramente, trace o gráfico de

f (x, y)

, que se parece com um plano inclinado, já que

f

é uma função linear. Em seguida, projete o círculo

x^{2} + y^{2} = 1

a partir do plano cartesiano verticalmente no gráfico de

f

. O ponto máximo que buscamos corresponde ao ponto mais alto desse círculo projetado no gráfico.

Invólucro do vídeo da Khan Academy

Ver transcrição do vídeo

De forma mais generalizada

Em geral, problemas de otimização com restrição envolvem a maximização ou minimização de uma função multivariável, cuja entrada tem qualquer número de dimensões:

$f (x, y, z, \dots)$ ‍

No entanto, sua saída será sempre unidimensional, uma vez que não há uma noção clara de "máximo" com saídas de valores vetoriais.

As restrições nas quais pode ser aplicada a técnica dos multiplicadores de Lagrange devem ter a forma de alguma outra função multivariável

g (x, y, z, \dots)

sendo igualada a uma constante

c

$g (x, y, z, \dots) = c$ ‍

Como isso é para ser uma restrição ao valor de entrada de

f

, o número de dimensões do valor de entrada de

g

é igual ao de

f

. Por exemplo, o exemplo utilizado acima se encaixa nesta forma geral, como demonstrado a seguir:

$f (x, y) = 2 x + y$ ‍

$g (x, y) = x^{2} + y^{2}$ ‍

$c = 1$ ‍

Utilização de mapas de contorno

Para facilitar o raciocínio, não vamos visualizar

f

com um gráfico, mas com suas linhas de contorno.

É importante lembrar que uma linha de contorno de

f (x, y)

é o conjunto de todos os pontos nos quais

f (x, y) = k

para alguma constante

k

. A ferramenta interativa a seguir mostra como essa linha (em azul) varia conforme a constante

k

varia. O círculo

g (x, y) = 1

também é mostrado (em vermelho). Tente fazer

k

ter o maior/menor valor possível ao mesmo tempo com que faz com que a linha de contorno de

f

continue interceptando o círculo.

Verificação do conceito: o que significa se, para um valor específico de

k

, a linha azul que representa

f (x, y) = k

não interceptar o círculo vermelho que representa

g (x, y) = 1

Observe que o círculo em que

g (x, y) = 1

pode ser pensado como uma linha de contorno específica da função

g

. Sabendo disto, a maneira mais inteligente de lidar com problemas de otimização com restrição é:

Observação fundamental: os valores máximo e mínimo de

f

, sujeitos à restrição

g (x, y) = 1

, correspondem às linhas de contorno de

f

que são tangentes ao contorno que representa

g (x, y) = 1

f

fosse uma outra função, seus contornos poderiam não ser sempre linhas retas. Isso é uma particularidade de nosso exemplo, já que

f

é uma função linear. Por exemplo, veja a seguinte função:

$f (x, y) = 2 x^{2} + \sqrt{5 y}$ ‍,

Suas linhas de contorno são assim:

Dito isso, a observação fundamental se sustenta, e vale a pena repeti-la: quando

k

é um máximo ou um mínimo de

f

, sujeito à restrição, a linha de contorno para

f (x, y) = k

será tangente ao contorno que representa

g (x, y) = 1

Onde o gradiente entra em jogo

Como considerar duas linhas de contorno tangentes em uma fórmula que se possa resolver?

Para responder essa pergunta, voltaremos ao nosso leal amigo, o gradiente. Existem diversas maneiras de interpretar

\nabla f

: a direção de inclinação mais íngreme, uma ferramenta para calcular derivadas direcionais etc. Porém, para o nosso objetivo aqui, a propriedade mais importante é que o gradiente de $f$ ‍ calculado em um ponto $(x_{0}, y_{0})$ ‍ sempre resulta em um vetor perpendicular à linha de contorno que passa por esse ponto.

Isso significa que quando as linhas de contorno de duas funções

f

g

são tangentes, seus vetores gradientes são paralelos. É assim que isso se parece para funções

f

g

arbitrárias:

O fato de as linhas de contorno serem tangentes não nos diz nada sobre a magnitude de cada um desses vetores gradiente, mas tudo bem. Quando dois vetores têm a mesma direção, significa que podemos multiplicar um deles por alguma constante para obter o outro. Especificamente, considere

(x_{0}, y_{0})

um ponto específico em que as linhas de contorno de

f

g

são tangentes (escrever

x_{0}

y_{0}

com um

0

subscrito simplesmente indica que estamos considerando valores constantes, e consequentemente um ponto específico). Como essa tangência significa que seus vetores gradiente estão alinhados, vejamos o que você poderia escrever:

$\begin{array}{r} \nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ_{0} \nabla g (x_{0}, y_{0}) \end{array}$ ‍

Aqui,

λ_{0}

representa uma constante. Alguns autores usam uma constante negativa,

- λ_{0}

, mas eu, pessoalmente, prefiro uma constante positiva, já que ela oferece uma interpretação mais clara de

λ_{0}

na sequência.

Vamos ver como isso fica no nosso exemplo, no qual

f (x, y) = 2 x + y

g (x, y) = x^{2} + y^{2}

. O gradiente de

f

$\begin{array}{r} \nabla f (x, y) = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} (2 x + y) \\ \frac{\partial}{\partial y} (2 x + y) \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}] \end{array}$ ‍

e o gradiente de

g

$\begin{array}{r} \nabla g (x, y) = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} (x^{2} + y^{2} - 1) \\ \frac{\partial}{\partial y} (x^{2} + y^{2} - 1) \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 x \\ 2 y \end{array}] \end{array}$ ‍

Portanto, a condição de tangência termina como:

$\begin{array}{r} [\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array}] = λ_{0} [\begin{array}{c} 2 x_{0} \\ 2 y_{0} \end{array}] \end{array}$ ‍

Resolvendo o problema no caso específico

Para resumir o que fizemos até agora, procuramos pontos de entrada

(x_{0}, y_{0})

com as seguintes propriedades:

$g (x_{0}, y_{0}) = 1$ ‍, o que para o nosso exemplo significa
$x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 1$ ‍
$\nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ_{0} \nabla g (x_{0}, y_{0})$ ‍ para uma constante $λ_{0}$ ‍, o que para nosso exemplo significa
$\begin{aligned} 2 & = 2 λ_{0} x_{0} \\ 1 & = 2 λ_{0} y_{0} \end{aligned}$ ‍

Existem

3

equações e

3

incógnitas, então essa é uma situação perfeitamente solucionável.

A abordagem será primeiro encontrar o valor de

λ_{0}

e então usar a solução para encontrar

x_{0}

y_{0}

Usando as duas últimas equações acima, escreva

x_{0}

y_{0}

em função de

λ_{0}

$\begin{aligned} 2 & = 2 λ_{0} x_{0} \Rightarrow x_{0} = \frac{1}{λ_{0}} \\ 1 & = 2 λ_{0} y_{0} \Rightarrow y_{0} = \frac{1}{2 λ_{0}} \end{aligned}$ ‍

Agora, para introduzir a terceira equação, insira estes resultados na equação

x_{0}^{2} + y_{0}^{2} = 1

\begin{aligned} {x_{0}}^{2} + {y_{0}}^{2} & = 1 \\ {(\frac{1}{λ_{0}})}^{2} + {(\frac{1}{2 λ_{0}})}^{2} & = 1 \\ \frac{1}{λ_{0}^{2}} + \frac{1}{4 λ_{0}^{2}} & = 1 \end{aligned}

Para extrair

λ_{0}

dos denominadores, multiplicamos tudo por

4 λ_{0}^{2}

e simplificamos.

\begin{aligned} 4 + 1 & = 4 λ_{0}^{2} \\ \frac{5}{4} & = λ_{0}^{2} \\ \pm \sqrt{\frac{5}{4}} & = λ_{0} \\ \frac{\pm \sqrt{5}}{2} & = λ_{0} \end{aligned}

Ao usarmos as expressões para

x_{0}

y_{0}

em função de

λ_{0}

que encontramos acima, essas duas soluções correspondem aos pares

$\begin{aligned} (x_{0}, y_{0}) & = (\frac{1}{λ_{0}}, \frac{1}{2 λ_{0}}) \\ = (\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}) ou (\frac{- 2}{\sqrt{5}}, \frac{- 1}{\sqrt{5}}) \end{aligned}$ ‍

Podemos ver qual desses é um ponto máximo e qual é um ponto mínimo ao inserirmos estas soluções em

f (x, y)

e verificando qual é maior.

\begin{aligned} f (\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}) & = 2 \frac{2}{\sqrt{5}} + \frac{1}{\sqrt{5}} \\ = \frac{5}{\sqrt{5}} \\ = \sqrt{5} \leftarrow Máximo \\ f (- \frac{2}{\sqrt{5}}, - \frac{1}{\sqrt{5}}) & = 2 \frac{- 2}{\sqrt{5}} + \frac{- 1}{\sqrt{5}} \\ = \frac{- 5}{\sqrt{5}} \\ = - \sqrt{5} \leftarrow Mínimo \end{aligned}

A função lagrangeana

Nos anos de 1.700, o nosso amigo Joseph Louis Lagrange estudou problemas de otimização com restrição desse tipo, e encontrou uma maneira inteligente de expressar todas as nossas condições em uma única equação.

Geralmente, você pode escrever estas condições dizendo que estamos procurando pelas constantes

x_{0}

y_{0}

λ_{0}

que satisfaçam às seguintes condições:

A restrição:
$g (x_{0}, y_{0}) = c$ ‍
A condição de tangência:
$\nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ_{0} \nabla g (x_{0}, y_{0})$ ‍.
Isto pode ser dividido em seus componentes, como segue:
$f_{x} (x_{0}, y_{0}) = λ_{0} g_{x} (x_{0}, y_{0})$ ‍
$f_{y} (x_{0}, y_{0}) = λ_{0} g_{y} (x_{0}, y_{0})$ ‍

Lagrange escreveu uma nova função especial que assimila todas as mesmas variáveis de entrada como

f

g

, juntamente com a novidade

λ

, tida agora como uma variável, ao invés de uma constante.

$L (x, y, λ) = f (x, y) - λ (g (x, y) - c)$ ‍

Por exemplo, considere nosso exemplo acima.

\begin{aligned} f (x, y) & = 2 x + y \\ g (x, y) & = x^{2} + y^{2} \\ c & = 1 \end{aligned}

Esta nova função ficaria assim:

$L (x, y, λ) = 2 x + y - λ (x^{2} + y^{2} - 1) .$ ‍

Observe, a derivada parcial de

L

em relação a

λ

- (g (x, y) - c)

\begin{aligned} L_{λ} (x, y, λ) & = \frac{\partial}{\partial λ} (f (x, y) - λ (g (x, y) - c) \\ = 0 - (g (x, y) - c) \end{aligned}

Então, podemos traduzir a condição

g (x, y) = c

como

\begin{array}{r} L_{λ} (x, y, λ) = - g (x, y) + c = 0 \end{array}

Além do mais, veja o que obtemos quando igualamos alguma das outras derivadas parciais a

0

\begin{aligned} L_{x} (x, y, λ) & = 0 \\ \frac{\partial}{\partial x} (f (x, y) - λ (g (x, y) - c)) & = 0 \\ f_{x} (x, y) - λ g_{x} (x, y) & = 0 \\ f_{x} (x, y) & = λ g_{x} (x, y) \end{aligned}

Por acaso, essa é outra de nossas condições! De forma quase idêntica, a condição

L_{y} (x, y, λ) = 0

se desenvolve para se tornar

\begin{array}{r} f_{y} (x, y) = λ g_{y} (x, y) \end{array}

Juntas, estas condições são o mesmo que dizer.

\begin{array}{r} \nabla f (x, y) = λ \nabla g (x, y) \end{array}

Portanto, as três condições que precisamos resolver para encontrar

x, y

λ

se resumem às várias derivadas parciais de

L

serem iguais a

0

. Isto pode ser escrito de maneira extremamente compacta ao igualarmos o gradiente de

L

ao vetor nulo:

\begin{array}{r} \nabla L = 0 \end{array}

Por exemplo, ao usarmos nossas funções específicas indicadas acima, vemos como isso codifica o sistema de equações que precisamos resolver:

\begin{array}{r} \nabla L = [\begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x} (2 x + y - λ (x^{2} + y^{2} - 1)) \\ \frac{\partial}{\partial y} (2 x + y - λ (x^{2} + y^{2} - 1)) \\ \frac{\partial}{\partial λ} (2 x + y - λ (x^{2} + y^{2} - 1)) \end{array}] = [\begin{array}{c} 2 - 2 λ x \\ 1 - 2 λ y \\ - x^{2} - y^{2} + 1 \end{array}] = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}] \end{array}

Como uma homenagem ao velho Joey Lou, chamamos essa função

L

de a "lagrangeana", e a nova variável

λ

que apresentamos é chamada de "multiplicador de Lagrange". Imagine se alguém acrescentasse "-ana" ao fim de seu sobrenome e o tornasse o nome de uma função que todo mundo usa. Muito legal!

Atenção: alguns autores usam uma convenção na qual o sinal de

λ

é invertido:

\begin{array}{r} L (x, y, λ) = f (x, y) + λ (g (x, y) - c) \end{array}

Isto não faz qualquer diferença quando se trata de resolver o problema, mas você deve ter isso em mente caso o curso que você esteja fazendo ou o texto que você esteja lendo siga essa convenção.

Observação: e se a restrição não for tão restritiva?

Existe um porém nesta história, melhor ilustrado com um exemplo.

Suponha que precisássemos maximizar a função

\begin{array}{r} f (x, y) = e^{- (x^{2} + y^{2})} \end{array}

Sujeito à restrição

\begin{array}{r} g (x, y) = x - y = 0 \end{array}

O gráfico de

f (x, y) = e^{- (x^{2} + y^{2})}

é uma "curva de sino", com uma saliência redonda sobre o ponto

(x_{0}, y_{0}) = (0, 0)

, como mostrado acima.

Essa restrição pode ser desenhada como uma linha diagonal no plano cartesiano (em vermelho).

O que torna esse problema um pouco bobo é que o ponto máximo (irrestrito)

(0, 0)

f

já satisfaz a restrição

g (x, y) = 0

, uma vez que

\begin{array}{r} g (0, 0) = 0 + 0 = 0 \end{array}

Pode parecer que isso facilita as coisas para nós. Afinal, não ter de se preocupar com a restrição deveria ser mais simples do que ter que se preocupar com ela, certo? Porém, se você (ou, mais provavelmente, um computador) estivesse resolvendo um problema de otimização com restrição, não seria como se você fosse primeiro encontrar o máximo irrestrito, verificar se ele satisfaz a restrição e então usar a técnica dos multiplicadores de Lagrange. Você começaria diretamente com a abordagem dos multiplicadores de Lagrange, pois quase nunca acontece o fato de um máximo sem restrição ser também o máximo com restrição.

Acontece que a técnica dos multiplicadores de Lagrange funciona mesmo quando o máximo com restrição é igual ao máximo sem restrição. O motivo é um tanto sutil, já que nosso argumento de tangência dos contornos acima não se aplica completamente.

Por exemplo, vamos brincar um pouco com os contornos que representam

e^{- (x^{2} + y^{2})} = k

conforme

k

varia entre

0, 5

1

O contorno que representa

e^{- (x^{2} + y^{2})} = k

sempre cruza a reta

x - y = 0

e se torna um simples ponto quando

k

atinge o maior valor possível. Anteriormente, dissemos que as linhas de contorno seriam tangentes quando

f

alcançasse seu máximo com restrição, mas parece estranho dizer que um ponto é tangente a uma reta.

Por que isso não é um problema, então?

f

alcança um máximo local irrestrito em um dado ponto

(x_{0}; y_{0})

, seu gradiente nesse ponto será

0

\begin{array}{r} \nabla f (x_{0}, y_{0}) = 0 \end{array}

Você pode pensar nisso como sendo equivalente a dizer que o plano tangente em um máximo local é plano.

Neste caso, a propriedade

\begin{array}{r} \nabla f (x_{0}, y_{0}) = λ \nabla g (x_{0}, y_{0}) \end{array}

ainda vale, pois podemos definir

λ = 0

Um jeito peculiar de pensar sobre isso é dizer que um ponto é "tangente" a todas as linhas que passam por ele da mesma forma que o vetor nulo é "proporcional" a todos os outros vetores.

Assim, a técnica dos multiplicadores de Lagrange não apenas unifica de maneira inteligente várias condições na equação

\begin{array}{r} \nabla L = 0, \end{array}

automaticamente ele também considera esse caso especial!

Resumo

Se você quiser maximizar (ou minimizar) uma função multivariável

f (x, y, \dots)

sujeita à restrição de que outra função multivariável seja igual a uma constante,

g (x, y, \dots) = c

, siga as seguintes etapas:

Etapa 1: introduza uma nova variável $λ$ ‍, e defina uma nova função $L$ ‍, como a seguir:
‍ $L (x, y, \dots, λ) = f (x, y, \dots) - λ (g (x, y, \dots) - c)$ ‍
Essa função $L$ ‍ é chamada de "lagrangeana", e a nova variável $λ$ ‍ é conhecida como um "multiplicador de Lagrange".
Etapa 2: iguale o gradiente de $L$ ‍ ao vetor nulo.
‍ $\nabla L (x, y, \dots, λ) = 0 \leftarrow Vetor nulo$ ‍
Em outras palavras, encontre os pontos críticos de $L$ ‍.

Etapa 3: considere cada solução, que se parecerá mais ou menos com $(x_{0}, y_{0}, \dots, λ_{0})$ ‍. Insira cada uma delas em $f$ ‍. Ou melhor, primeiro subtraia o componente $λ_{0}$ ‍, e depois a insira em $f$ ‍, já que $f$ ‍ não tem $λ$ ‍ como uma entrada. Qualquer solução que dê o maior (ou menor) valor é o ponto máximo (ou mínimo) que você está procurando.

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belajunho96
Publicado há há 5 anos. Link direto para a postagem “estou confundir com a reg...” de belajunho96
estou confundir com a regularidade dos pontos que diz nas condições de regularidade podemos considerar lambda0=1
Então quando é que podemos dizer estamos neste condição?Obrigada!
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