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Introdução à otimização com restrições

A técnica do multiplicador de Lagrange é como podemos tirar proveito da observação feita no último vídeo, que a solução para um problema de otimização com restrições ocorre quando as linhas de contorno da função sendo maximizada são tangentes à curva de restrição. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos começar a falar de um tipo novo de otimização, que é a otimização restrita. Mas, o que isto significa? Vamos dizer que nós queremos maximizar a função "f(x,y) = x²y". É claro que essa ideia serve para outros tipos de funções, mas eu estou colocando aqui um caso bem particular. Mas, além disso, você tem uma certa restrição. Digamos que você tenha uma restrição na qual você deva maximizar essa função em um conjunto igual a x² + y² = 1. Se você perceber, isso aqui é um círculo unitário, ou seja, o raio desse círculo é igual a 1. E para pensar na maximização desta função neste conjunto, nós podemos olhar para o gráfico. Eu o coloquei aqui. Este é o gráfico de f(x,y) = x²y. A restrição que eu falei, basicamente, é um subconjunto do plano (x,y). Então, se olharmos de cima, vamos ver este círculo que representa os pontos de (x, y), que é a restrição da nossa maximização, é como se fosse um limite de maximização da nossa função. Mas se olharmos aqui de lado, você vai ver a projeção dele no gráfico, e esse conjunto, além de ser a restrição, ele também representa os pontos no gráfico. Então, para pensar na otimização, você deve olhar para esse círculo projetado no gráfico e precisa procurar pontos mais altos. Você pode ver que tem um aqui, que é uma espécie de pico no círculo, e tem o outro aqui também, e tem esses outros dois pontos que são pontos menores. E olhar para isso é uma boa forma de entender o que a otimização significa. Mas claro, existe uma maneira de visualizar isso melhor. Isso ajuda a encontrar a solução ou as soluções reais. Basicamente, nós podemos olhar de cima e visualizar apenas no plano (x,y). Quando fazemos isso, nós temos essa visão. Aqui eu tenho o que chamamos de linhas de contorno para a função f(x,y) = x²y, e se você não lembra o que são linhas de contorno, eu sugiro que você dê uma revisada nos vídeos da Khan Academy porque nós já falamos a respeito disso. Vai ser muito importante para os próximos vídeos. Mas basicamente, cada uma dessas linhas representa um valor constante para "f". Por exemplo: se eu tenho uma função f(x,y) = 2, se você quiser saber todos os valores que tornam isso verdade, você vai encontrar em alguma dessas linhas. E cada linha representa um valor diferente para esta constante. Deixe-me dar um zoom aqui, e vamos ver uma linha de contorno em particular. Eu posso até variar essa linha de contorno e definir qual constante eu quero. E conforme eu vou mudando, a linha de contorno muda também. Por exemplo, se eu colocar aqui a linha de contorno que você está vendo, é f(x,y) = 0,1. Note que essas duas linhas de contorno informam quais valores de (x, y) satisfazem 0,1. Eu posso até mudar de novo as linhas de contorno e ver quais valores da função, por exemplo, são iguais a 1, basicamente, o que nós queremos, deixe-me colocar aqui ao lado, quais valores de (x, y) nesta função "f" são iguais a 1. eu quero destacar algumas coisas aqui. Por exemplo: existem alguns valores nos quais a função é igual a 0,1, onde essas linhas de contorno se cruzam com o círculo, o que significa que eles cruzam com a nossa restrição. E o que isso significa? Se tiver um ponto nesse cruzamento de modo que torne isso verdade e também que x² + y² seja igual a 1, com esse ponto é possível nós maximizamos a função, já que ele torna isso verdade e também obedece à restrição. Podemos ver pares de números onde isso é verdade. Aqui, onde tem essa intersecção, aqui também, aqui e aqui. Mas por outro lado, se colocarmos a linha de f(x, y) = 1, essa linha nunca se cruza com círculo, ou seja, com a restrição. Isto significa que esses pontos (x, y) que satisfazem esta igualdade, estão fora da restrição, ou seja, estão fora do círculo x² + y² = 1. Isso significa que se estamos tentando maximizar essa função nesta restrição, nós nunca vamos chegar tão alto quanto 1. De 0,1 nós conseguiríamos. Deixe-me até voltar aqui para o meu gráfico, e nós podemos mudar as linhas. Aqui é 0,1 e eu posso aumentar um pouco para 0,2, por exemplo. Isso seria possível, porque as linhas se cruzam com o círculo. E claro, você pode ir mudando isso e encontrar valores um pouco maiores, por exemplo, aqui, 0,3, que também vai ser possível. Basicamente, o que queremos saber é o valor máximo que podemos colocar aqui, ou seja, o valor máximo de f(x, y) que essa linha representa. E claro, esse valor deve cruzar o círculo. E a chave aqui é você observar que esse valor é máximo quando esta linha é tangente ao círculo. Nos próximos vídeos, nós vamos entrar em mais detalhes a respeito disso aqui. Nós vamos ver melhor a noção de tangência para resolver este problema, ou seja, vamos achar o valor que maximiza esta função e satisfaz essa restrição. Mas por ora, eu quero que você pense no que significa esta tangência aqui. Será que tem algo que aprendemos no cálculo multivariável que pode nos auxiliar com isso? Como, por exemplo, o vetor gradiente? Enfim, eu vou continuar falando a respeito desse assunto na próxima aula. Até a próxima, pessoal!