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Terminando o exemplo de introdução ao multiplicador de Lagrange

Trabalhando a álgebra para a solução final do exemplo dos dois vídeos anteriores. Versão original criada por Grant Sanderson.

Transcrição de vídeo

RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Na aula passada, nós começamos a falar a respeito de multiplicador de Lagrange. Conforme a aula foi passando, nós chegamos neste sistema, e, nesta aula, nós vamos resolvê-lo. Para isso, vamos começar resolvendo esta primeira equação. Considerando o "x" diferente de zero, vamos dividir ambos os membros dela por "x". Quando fazemos isso, este "x" e esse "x" são cancelados, e ficaríamos com 2y = 2λ. Ainda podemos dividir ambos os membros da equação por 2, ficando com "y = λ". Sabendo disso, no lugar desse λ eu poderia colocar ''y", e aí ficaríamos com x² = 2y². Agora, podemos utilizar isso aqui nesta equação. Como x² = y², e aí ficaríamos com 2y² + y² = 1. Ajeitando, vamos ficar com 3y² = 1, e se dividirmos ambos os membros desta equação por 3, vamos ficar com y² = 1/3, e aí "y = ± √1/3". Substituindo isso aqui no lugar deste "y", a resposta sempre vai ser positiva, porque estamos elevando ao quadrado. Então, não importa se eu substituir o mais ou o menos √1/3. Eu vou ficar com x² = 2 vezes 1/3, e aí o "x" vai ser igual a mais ou menos √2/3. E pronto, já encontramos a segunda incógnita, e nem precisamos resolver λ, já que ele é igual ao "y". A única coisa que temos que ficar preocupados é com essa restrição. O que acontece se o "x" for igual a zero? Se "x" for igual a zero, isso aqui faria sentido, porque ficaríamos com o zero desse lado e zero deste aqui também. Nessa segunda a equação, para o "x" ser igual a zero, o ''y'' teria que ser igual a zero, já que "y = λ". Ou seja, quando "x" é igual a zero, a segunda equação deve ter "y" igual a zero. Mas eu nem preciso olhar para essa terceira equação, porque, preste atenção, se "y = λ" e o lambda é uma constante de proporcionalidade, então, ela não pode ser zero, o que significa que o "y" não pode ser zero. Por isso, toda vez que você estiver dividindo ambos os membros por uma variável, você está assumindo que essa variável é diferente de zero. Bem, essas são as 4 soluções que maximizam a função "x² vezes y", que foi a função que vimos na aula anterior, e ao mesmo tempo obedece a restrição x² + y² = 1. Só para deixar bem claro, as soluções são: √2/3 e quem sabe √1/3, ou -√2/3 que dê √1/3, ou, então, √2/3 dá -√1/3, ou -√2/3, que dá -√1/3. Esses são os pontos onde as linhas de contorno são tangentes. Para descobrir qual deles maximiza essa função, nós devemos testar cada um deles aqui e ver qual é o maior valor. A primeira uma coisa que você deve observar é que "x²" sempre vai ser positivo. Isso significa que se eu colocar este ponto ou esse, esta função vai ser negativa. Por isso, nenhum desses pontos pode ser o máximo. Então devemos testar esses dois pontos. Testando o primeiro, f(√2/3) e √1/3, (√2/3)² vai ser igual a 2/3 que multiplica a √1/3. E eu nem preciso continuar resolvendo isso para saber que esses dois pontos maximizam a função, já que ambas coordenadas de "x" elevado ao quadrado vai ser um número positivo e igual a 2/3. Portanto, a resposta sempre vai ser esta. Este é o valor que maximiza a função. Mas enfim, utilizar o multiplicador de Lagrange conforme vimos na aula passada foi o que tornou possível encontrar esta solução. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado e até a próxima, pessoal!