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Exemplo de multiplicador de Lagrange - Parte 2

Terminando o exemplo do vídeo anterior. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos continuar fazendo um exercício a respeito do multiplicador de Lagrange. Na aula passada, nós vimos que uma empresa queria construir um certo material cuja a mão de obra era 20 reais por hora, e que o aço para construir esse material custava 2.000 reais cada tonelada. Enfim, nós resolvemos algumas coisas e chegamos nessas duas equações. Mas para resolver o sistema, ainda precisamos de uma terceira equação, que é esta equação de restrição. Quando resolvermos isso, vamos encontrar o λ, o ''a" e o "h". E eu posso descer aqui e começar a simplificar as coisas. A primeira que eu vou simplificar é esta igualdade, e para isso, eu vou dizer que "u = a/h", e com isso eu consigo reescrever esta equação como 200/3 que mulitiplica u¹/³ e que é igual a 20λ. Essa segunda equação, eu posso simplificar também, mas note que aqui nós temos h/a, o que significa que eu posso escrever 100/3 que multiplica u⁻²/³, e isso é igual a 2.000λ. Eu ainda posso multiplicar toda esta igualdade por 3/200, e com isso eu vou cancelar esta parte, e aí, quando fazemos isso, vamos ficar com u¹/³ = 3/10λ, já que eu multipliquei isso aqui por 20 e simplifiquei, então, deixa eu dividir essas duas coisas, e também posso multiplicar toda essa igualdade por 3/100. E, quando você faz isso, este 100/3 é cancelado, e aí vamos ficar com u⁻²/³, e multiplicando aqui, vamos ficar com 2.000 vezes 3, que dá 6.000, e divido por 100, dá 60, então igual a 60λ. E o que podemos fazer com essas duas coisas? O que podemos fazer é multiplicar esta aqui por u²/³ e esta aqui também, ou seja, também multiplicamos por u²/³. Quando fazemos isso, nesta parte vamos ficar com u = 3/10λu²/³ e aqui vamos ficar com 1 = 60λu²/³. Isso porque, quando multiplicamos u²/³ por u⁻²/³, isso vai ser igual a 1. Note que ambos os membros da direita são bastante parecidos. O que eu vou fazer agora é multiplicar esse lado direito de modo que ele fique igual a este lado direito aqui. E como eu posso fazer isso? Simples, eu vou multiplicar toda essa equação por 200, e aí vamos ficar com 200u = 60λu⁻²/³. E com isso, essas duas equações têm o mesmo lado direito. O que isso quer dizer? Se este lado é igual a esse, então, este aqui tem que ser igual a esse. Portanto, podemos dizer que 200u = 1. E quem é "u''? "u" é a/h, não é? Então podemos dizer que 200 que multiplica a/h = 1. Isso é o mesmo que dizer que "h = 200a". Agora que conhecemos isso, devemos utilizar essa restrição. Eu posso até repeti-la aqui, e aí nós vamos ficar com 20h + 2.000a = 20.000, e agora basta substituir isso aqui no lugar do "h". E aí vamos ficar com 20, que multiplica 200a mais 2.000a = 20.000. E 20 vezes 200 = 4.000, mais 2.000a = 20.000. E aí, 4.000a + 2.000a = 6.000a, igual a 20.000, e aí o "a" vai ser igual a 20.000/6.000, e que podemos simplificar ficando com 10/3. Agora que conhecemos o ''a", podemos descobrir o "h". h = 200a, então, 200 vezes 10/3, e multiplicando isto aqui, vamos ficar com h = 2.000/3, portanto, "h = 2.000/3" e "a = 10/3". Pronto, resolvemos o nosso exercício. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!