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Multiplicadores de Lagrange, usando tangência para resolver otimização com restrições

A técnica do multiplicador de Lagrange é como podemos tirar proveito da observação feita no último vídeo, que a solução para um problema de otimização com restrições ocorre quando as linhas de contorno da função sendo maximizada são tangentes à curva de restrição. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Na aula passada, nós tentamos maximizar esta função de modo que essa restrição seja atendida para quaisquer valores de "x" e "y", e vimos que isto se trata de um círculo com raio igual a 1 e que se olharmos de cima, ou seja, olhar para o plano (x, y), nós vamos ver algo mais ou menos assim. Ou seja, este círculo representa a nossa restrição e esta linha é um dos contornos de "f", ou seja, ela representa todos os valores de (x, y) que são iguais a uma constante "c". E quanto maior o valor de "c", essas linhas vão ficando maiores, e conforme as linhas vão ficando menores, significa que o valor de "c" é menor. Neste caso específico, o valor de "c" é igual a 0,01 E a maneira de maximizar esta função é tentar aumentar o valor de "c" o máximo que você puder sem que as curvas saiam do círculo. Nós vimos que isso acontece quando elas são tangentes ao círculo. Deixe-me desenhar isso aqui. Aqui nós temos a nossa restrição, que é uma parte desse círculo, e a curva representa o contorno desta função, ou seja, esta curva aqui que é tangente ao círculo. Como podemos descobrir este ponto? Simples, podemos utilizar ferramentas do cálculo multivariável, e a principal delas é o gradiente. Deixe-me colocar mais linhas de contorno aqui no nosso gráfico, e eu também vou colocar o campo gradiente, ou seja, o campo gradiente de "f". Bem, eu já fiz um vídeo a respeito da relação entre o gradiente e as linhas de contorno. E o resultado disso é que esses vetores gradientes, toda vez que passam por essas linhas de contorno, são perpendiculares a elas. E a razão para isso é que se você caminhar ao longo de cada uma dessas linhas de contorno, a função não está mudando o valor, mas se você quiser que mude rapidamente, você deve caminhar na direção perpendicular, isso porque é meio inútil você continuar andando ao longo da linha de contorno já que o valor não vai alterar. Mas claro, eu já falei bastante a respeito disso. Se você não lembra, eu sugiro que você dê uma revisada. O interessante é que neste ponto, o vetor gradiente vai ser perpendicular a ambas as curvas, ou seja, este vetor representa o gradiente da função "f" neste ponto. Podemos fazer algo similar para entender esta outra curva. Claro, isso aqui é a restrição, mas eu posso colocar ela com uma função. Então, eu posso dizer aqui que "g(x, y) = x² + y²", e esse é um caso particular da restrição, é apenas um círculo da nossa função, mas nós podemos colocar vários e vários círculos. Cada círculo desse aqui é uma linha de contorno para a função ''g". O interessante é que se olharmos para ∇g, ele tem a mesma propriedade. Cada um desses vetores gradientes que passam pelas linhas de contorno são perpendiculares a elas. Então, se eu colocar aqui no desenho, o vetor ∇g vai ser perpendicular a ambas as curvas também, e claro, ele pode ser um pouco menor ou um pouco maior que o vetor ∇f, mas o fato é que esses vetores gradientes são proporcionais. E claro, eu posso escrever essa proporção como o vetor ∇f em um ponto que vai maximizar esta função. Então, eu vou colocar aqui que o ponto (xₘ, yₘ) vai ser proporcional a este ∇g neste mesmo ponto. E ser proporcional significa que tem uma constante λ multiplicando este ∇g. E sabe o que é interessante? Esse camarada tem um nome, ele é chamado de multiplicador de Lagrange. Lagrange era um matemático francês bem famoso, e ele fez grandes contribuições para o cálculo multivariável. Mas enfim, a ideia é que esses dois vetores gradientes sejam iguais, já que o que queremos é encontrar quando essas funções são iguais. Ok, então, vamos utilizar esta fórmula. Primeiro, nós queremos saber o vetor gradiente da função "g", que é a mesma coisa que encontrar o ∇(x² + y²) que é igual ao vetor cuja as componentes são todas derivadas parciais. E a derivada parcial da função em relação a "x" a ser igual a 2x já que consideramos o "y" como uma constante, e a derivada parcial da função em relação a "y" é igual a 2y já que consideramos o "x" como uma constante. E lembrando, derivadas de constantes são iguais a zero. Então, este é o ∇g. E o ∇f é igual ao ∇(x²y), é igual ao vetor que tem as componentes iguais às derivadas parciais de "f". Derivando isso aqui em relação a "x", nós utilizamos a regra do produto e ficamos com 2xy, e derivando a função em relação a "y" ficamos com x². E usando a igualdade de Lagrange, nós vamos ter que o vetor 2xy e x² tem que ser igual a λ vezes o vetor [2x, 2y], e você pode transformar isso aqui em um sistema de equações colocando 2xy = λ2x, e x² = λ2y, e resolver este sistema parece um pouco complicado, porque nós temos três incógnitas, não é? Para resolver isso, nós vamos precisar de uma terceira equação. Qual seria? Simples, podemos utilizar esta restrição. Então, a terceira equação seria x² + y² = 1. Essas três equações formam um sistema que, se resolvermos, vamos encontrar a resposta para o nosso problema de otimização restrita. A equação debaixo representa um círculo, ou seja, nós devemos estar dentro deste círculo unitário. Deixe-me destacá-lo aqui, ou seja, nós devemos estar dentro deste círculo. E essas duas equações, o que dizem? Elas dizem o que é necessário para que as linhas de contorno de "f" e de "g" sejam tangentes entre si. Bem, eu não vou resolver isso nesta aula, vou deixar para o próximo vídeo, mas, basicamente, isso é álgebra, não é? Eu também vou falar, na próxima aula, como colocar todas essas três equações em uma única expressão. E, por fim, vou falar a importância deste λ. Isso porque ele tem um significado muito interessante na física. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!