Significado do multiplicador de Lagrange

RKA8JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, eu vou mostrar algo bem interessante a respeito dos multiplicadores de Lagrange que estamos estudando. Primeiramente, eu vou dar uma revisada e mostrar o que é um multiplicador de Lagrange. Para isso, vamos pensar em um problema de otimização restrita, sendo que nós temos uma função, que é a receita de uma empresa, e essa função depende de várias coisas. Depende das horas trabalhadas e também da quantidade de aço em toneladas. Claro, isso aqui é se você estiver produzindo algo metálico, né. Mas enfim, geralmente, uma função receita depende de vários aspectos, e essa função pode ser modelada como algo multivariável. Nesta aula, isso não importa tanto, pode ser qualquer função, mas o que você tenta fazer é maximizar essa receita, ou seja, maximizar essa função, mas você tem uma restrição, porque lembre-se, o dinheiro não é infinito. Então, nesse caso, você tem um tipo de orçamento, que é a restrição da receita, que é o quanto você pode gastar com as horas trabalhadas e com as toneladas de aço. E, de novo, isso vai ser uma função multivariável na qual nós não estamos interessados nesta aula. Isso tem que ser igual a uma constante, e eu vou dizer que a função é igual a R$ 10.000,00, portanto, o nosso objetivo é maximizar essa função sabendo desta restrição. Se você pensar nisso graficamente, você tem aqui o seu plano cartesiano, que é o aço em função das horas trabalhadas, e sua função restrição vai ser uma curva desse tipo, ou seja, todos os valores de "h" e "a" que tornam isso aqui verdade. E claro, essa função receita vai ser igual a um valor máximo que eu vou chamar de M*, que a receita máxima vai te dar um gráfico que é tangente à curva de restrição. Essa função receita tem um vetor gradiente que eu chamo de gradiente de "R" e que é proporcional ao vetor gradiente da função restrição, que eu vou chamar de gradiente de "O". Isso acontece porque esses vetores gradientes são perpendiculares a essas linhas de contorno. E por causa dessa proporcionalidade, nós podemos escrever que o vetor gradiente da função receita é proporcional ao vetor gradiente da função "O". E este λ é a constante de proporcionalidade, e é o que chamamos de multiplicador de Lagrange. Claro, este λ não pode ser igual a zero, porque senão, o vetor Gradiente de "R" vai ser igual a zero. E graças a esse multiplicador de Lagrange, nós apresentamos uma função chamada de Lagrangiana. Ela dependia das informações da função receita e do orçamento, no caso aqui, de (h, a) e também dependia do multiplicador de Lagrange. E essa função Lagrangiana era igual à função receita, avaliada em (h, a) menos o multiplicador de Lagrange, que multiplica a função restrição avaliada em (h, a), menos essa constante que eu vou chamar de "b" aqui para generalizar, então "-b". Quando resolvermos isso aqui, vamos ter uma função multivariável. E sabemos, da aula passada, que essa função nos ajuda a compactar o problema de otimização restrita. Isso porque você pegava o vetor gradiente da função Lagrangiana e igualava ao vetor zero. Quando você resolve essa equação, você tem uma solução que eu vou chamar de (h*, a*, λ*), Só para destacar que são valores diferentes. Ou seja, você encontra algum valor que quando colocar nesta função, o gradiente vai ser igual a zero. E claro, você pode encontrar diversos valores aqui né, mas o que você faz é pegar estes dois valores e colocar na função receita, ou seja na função que você está tentando maximizar, e, geralmente, você tem vários valores e você tem que testar qual deles faz a função ter o valor máximo, ou seja, qual é o valor mais alto que a função pode alcançar? Mas o interessante de quando você resolve esta equação é porque você obtém um valor específico de λ, ou seja, esse λ* vai estar associado a essa solução. Esse valor é importante porque ele te leva ao quanto você pode aumentar a receita se você aumentar o orçamento. Deixe-me mostrar o que eu estou querendo dizer. Nós temos este M* aqui, e eu vou até escrevê-lo de novo aqui. O que eu estou querendo dizer é que este valor máximo é a mesma coisa que a receita nesses dois valores que eu estou julgando que vai dar o máximo. São soluções desta equação, ou seja, você deve achar o vetor gradiente da função Lagrangiana, que no caso é pegar as derivadas parciais da função Lagrangiana, igualar a zero, e quando você resolve, vai obter estes valores, e quando você substituir na função, você vai ter a receita a máxima. Mas você também pode escrever esse M* como uma função do orçamento. Bem, isso vai ser igual à receita de h*, e ao invés de pensarmos nesse "b" como uma constante, podemos pensar como uma variável, ou seja, ao invés de ser 10.000, pode ser 15.000, 20.000, 30.000. Este valor pode variar. Então, vai ser h* dependendo do orçamento. Tanto o h* quanto o a* vão depender do orçamento. Isso faz sentido porque tanto o "h" quanto o "a" dependem do orçamento, porque se você muda esse orçamento, você vai encontrar outras soluções. E sabe o que é muito interessante? É que este λ* pode ser escrito como a derivada de M* em relação ao orçamento. Tá, vamos entender o porquê disso ser verdade. Vamos dizer que você fez todo esse cálculo e encontrou um λ* igual a 2,3. Bem, antes, este λ era um número que não conhecíamos, e com isso você olhava apenas para esses dois valores. Mas, se você colocar em um computador, por exemplo, este "λ = 2,3", significa que para uma pequena alteração no orçamento. Digamos aqui por exemplo, que o seu orçamento passou de 10.000 para 10.001, ou seja, você aumentou o seu orçamento um pouquinho apenas, uma pequena variação, então, a proporção da mudança na maximização da receita para este "dO" é de cerca de 2,3, o que significa que se você aumentar a sua receita em R$ 1,00, isso vai ser igual ao seu M*, ou seja, você aumentou o seu M* em R$ 2,30 para cada R$ 1,00 aumentado em seu orçamento. E esse λ* é bem importante né, porque se ele é maior do que 1, você pensa: espera aí, talvez devêssemos aumentar o nosso orçamento. Quando aumentamos de 10.000 para 10.001, nós estamos fazendo mais dinheiro. Portanto, enquanto esse λ* for maior do que 1, nós podemos aumentar esse orçamento. Na próxima aula eu vou falar mais a respeito desse λ*, e eu vou falar como ele é importante. Enfim, eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!