O lagrangiano

RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos falar a respeito de uma função bem importante, que é a função Lagrangiana. Nós já até conversamos a respeito dos multiplicadores de Lagrange e isso é algo até relacionado com essa função, ou seja, não vai ser nenhum conceito tão novo assim nesta aula, nós só vamos reforçar algumas ideias. Então, relembrando o que vimos em otimização restrita, se nós temos uma função f(x,y) aqui, que é igual a x²eʸy e nas aulas passadas nós falamos a respeito de linha de contorno, por isso, podemos dizer que esta função é igual a uma constante "c". Quando fazemos isso, nós queremos saber todos os valores de "x" e "y" que tornam esta função igual a "c". Claro, se nós variarmos a constante "c", a linha de contorno também vai variar, e quando queremos otimizar esta função, nós queremos maximizar o "x" e o "y" de modo que o "c" esteja dentro da restrição. Essa restrição é uma outra função, que eu vou chamar aqui de g(x,y) = x² + y² = 4. O que eu estou querendo dizer é que você tem que encontrar o valor máximo de "x" e "y" nesta função que dê resposta "c" e ao mesmo tempo satisfaça essa propriedade. E nós vimos que isso só é verdade quando as linhas de contorno de "f" e de "g" são tangentes entre si. Eu posso até dar um exemplo prático aqui. Digamos que eu apague esta função e coloque um "R" aqui que seja a função de receita de uma empresa, ou seja, você está modelando receitas baseadas em escolhas diferentes e a sua restrição é o orçamento da empresa que podemos chamar de O(x,y). O que você está tentando fazer é maximizar essa receita, sendo que você tem um certo limite de reais, ou seja, tem um limite no orçamento. Claro, estas duas funções eu que inventei aqui né, é só um exemplo. E claro, entender essa tangência é muito importante. Deixe-me colocar aqui. Então, a linha de contorno da função "b" e aqui da função "R", e que são tangentes entre si, e podemos colocar o vetor gradiente da função "R" e que é proporcional ao vetor gradiente da função "O", ou seja, da função de orçamento, a função de restrição. Isso significa que o gradiente da função "R" é proporcional ao gradiente da função orçamento, o que quer dizer que tem um λ multiplicando o gradiente da função orçamento e isso é igual à função receita. Nós fizemos alguns exemplos utilizando esta equação e também usamos a função restrição, e a Lagrangiana é uma forma compacta de colocar essa igualdade e essa restrição juntas. Essa função Lagrangiana, na qual nós esscrevemos o "L" assim, colocando as mesmas entradas (x, y) desta função, que neste caso é a função receita, e também o multiplicador de Lagrange que é o λ, é igual à função receita, a função que você está tentando maximizar, menos o multiplicador de Lagrange, que é λ vezes O(x,y) menos o valor de restrição, que neste caso é 4. Se eu quiser generalizar isso um pouco mais, eu posso tirar este 4 por exemplo e colocar uma constante, uma constante "b'', e aí eu posso tirar o 4 aqui e colocar -b. E o interessante desta função é que você já tem nela a função que você quer maximizar e também tem o λ e a função orçamento. O que eu quero frisar é que este "b" é uma constante, ele não é uma variável. As suas variáveis são (x,y) e λ. O interessante é que quando você faz o gradiente dessa função Lagrangiana igual a zero, você consegue conectar todas as três equações que você precisa. Eu já vou mostrar o que eu estou querendo dizer, mas, antes disso, vamos relembrar o que é um gradiente. O gradiente desta função Lagrangiana nada mais é do que um vetor com os seguintes componentes. [∂L/∂x, ∂L/∂y, ∂L/∂λ]. E uma coisa importante: quando eu coloco que o vetor gradiente da função "L" é igual a zero, eu estou querendo dizer que é igual ao vetor zero, o que quer dizer que este vetor é igual ao vetor [0, 0, 0], ou seja, o vetor nulo. Isso é uma forma mais compacta de dizer que as derivadas parciais são iguais a zero. Ok, então, vamos calcular essas derivadas parciais. Deixe-me descer um pouco aqui. Primeiro, vamos calcular ∂L/∂x e isso é a mesma coisa que ∂R/∂x, então, -λ∂O/∂x e essa constante "b" não importa, já que vai dar zero. E se você igualar isso a zero, vai ser a mesma coisa dizer que ∂R/∂x é igual a λ vezes ∂O/∂x. Se você perceber, é exatamente o que temos aqui, ou seja, o gradiente da função "R = λ∇O" E se fizermos ∂L/∂y vai ser a mesma coisa, ou seja, isso vai ser igual a ∂R/∂y - λ∂O/∂y. De novo, se igualarmos isso a zero, esta parte aqui vai ser igual a essa aqui. É só você ajeitar aqui e vai ver que ∂R/∂y = λ∂O/∂y. Bem, essas duas fórmulas são parecidas com o que já vimos nas aulas passadas, a diferença é que aqui utilizamos derivadas parciais. Mas será que ∂L/∂λ é a mesma coisa? Bem, se olharmos para a nossa função "L", esta função R(x,y) não tem λ, por isso é uma constante quando estamos derivando em relação a λ. Então, o primeiro termo vai ser a zero quando estamos derivando em relação a λ. Agora, olhando para este termo, toda esta parte aqui parece uma constante quando estamos derivando em relação a λ, certo? Isso porque nenhum deles tem λ, mas quando tomamos a derivada parcial, temos que tomar cuidado porque aqui temos uma multiplicação, e aí devemos utilizar a regra da multiplicação para derivadas. Quando fazemos isso, vamos ficar com -(O(x,y)-b). Quando igualamos isso a zero e resolvemos, perceba que vamos ficar com isso aqui igual a zero. E isso é o mesmo que dizer que "O(x,y) = b". E o que isso significa? Significa que quando pegamos a derivada parcial em relação ao multiplicador de Lagrange, isso vai ser igual à nossa restrição, ou seja, é a terceira equação que precisamos resolver. Portanto, colocar o gradiente da função Lagrangiana igual a zero é o mesmo que colocar a fórmula que resolve o problema de otimização restrita de uma forma compacta. Portanto, eu quero destacar que se você quiser maximizar uma função, que pode ser uma função de receita que tem um orçamento como restrição, é melhor você olhar para esses vetores gradientes que são proporcionais, porque basta você colocar o gradiente da função Lagrangiana igual a zero e você vai ter a fórmula de uma forma mais compacta. Sabe qual é o interessante disso? Os contadores costumam utilizar isso aqui de uma forma muito rápida. Isso ajuda muito na otimização restrita. E o mais interessante ainda é que esta Lagrangiana transforma o nosso problema em um problema sem restrição, ou seja, nós conseguimos maximizar a nossa função sem a restrição. Isso é feito pegando o gradiente da função Lagrangiana e colocando igual a zero. Como eu disse, os contadores fazem isso bem rápido, é só você entregar as funções para eles e eles conseguem as respostas bem rápido. Na próxima aula, eu vou falar do significado deste λ. Você vai ver que ele tem uma interpretação muito legal. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima pessoal!