Máximo e mínimo multivariáveis

RKA8JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Quando você tem uma função multivariável que tem, em sua entrada, diferentes valores e que gera apenas um único número, uma coisa que você tenta fazer é maximizar essa saída. Bem, mas o que isso significa? Simples, o que eu estou dizendo aqui é que estamos tentando achar valores para essa entrada de modo que "f" seja a maior possível. Claro, quando você faz isso, não está fazendo só por diversão, embora muitas pessoas amem matemática. Geralmente, quando você está tentando maximizar uma função, você está tentando, por exemplo, encontrar os lucros de uma empresa. Esta função pode ser o salário dos funcionários, ou os preços dos produtos, ou quem sabe o montante da dívida que você levanta para capital. Tem várias coisas que você pode colocar nessa entrada. E aí, maximizar esta função significa escolher valores de modo que a sua saída seja máxima. Uma área que utilizamos bastante essa ideia de maximização é a de aprendizado de máquina e inteligência artificial, algo bem comum nos dias de hoje. Frequentemente, você usa algo que é chamado de função de custo para uma tarefa. Então, talvez você esteja ensinando ao computador a como entender o áudio ou ler algum texto manuscrito. O que você faz é encontrar essa função que diz o quão errado está a nossa suposição e se estamos fazendo uma boa projeção. E aí, você só precisa dizer ao computador para minimizar isso, e esse é outro ponto importante, minimizar uma certa função. Se você minimizar essa função de custo, isso significa que você está fazendo um ótimo trabalho em qualquer tarefa que você atribuiu. Muito do aprendizado de máquina e da inteligência artificial se resume a esta função de custo. Ela descreve tarefas bem complicadas, mas com algumas técnicas que nós vamos ver agora, isso faz com que o computador minimize esse trabalho. Ok, aqui eu tenho um gráfico de uma função multivariável e nós vamos encontrar o máximo dela. Este é um gráfico de uma função de duas variáveis, ou seja, em sua entrada tem duas variáveis, e como estamos pensando no plano (x, y), a sua saída é a altura deste gráfico. Se você está procurando uma forma de maximizá-lo, basicamente, o que você quer descobrir é este pico. É como se fosse a montanha mais alta em toda esta área. E você está procurando o valor de entrada, ou seja, o ponto no plano (x, y) diretamente abaixo deste pico, porque isso mostra os valores das entradas que você deve colocar para maximizar a sua função. Então, como você pode encontrar isso? Isso talvez seja importante não apenas no cálculo multivariável, até porque é semelhante no cálculo de uma variável, mas o que devemos ficar atentos, é que se você pegar um plano tangente neste pico, ele vai ser completamente plano. Mas, e se você fizer isso em um ponto diferente? Porque, digamos, ao invés de você tentar descobrir o plano tangente a este ponto, porque você pode colocar no plano tangente assim, mas digamos que você mude um pouco, para um lugar que não seja exatamente o máximo. Se esse plano tangente tiver qualquer inclinação, isso está dizendo que você está pegando várias direções meio que na direção desta inclinação ascendente, e com isso você pode aumentar o valor da sua função. Então, se houver alguma inclinação para esse plano tangente, você sabe que pode caminhar em alguma direção para aumentá-lo, mas se esse plano não tiver uma inclinação, então, é isso é sinal que não importa a direção na qual você anda, você não vai aumentar o valor da sua função. Mas o que isso significa em termos algébricos? Bem, se você lembrar das aulas passadas, quando falamos a respeito de planos tangentes, a inclinação do plano em cada direção, esta aqui seria a inclinação na direção "x", e se você olhar de outra perspectiva, esta seria a inclinação na direção "y", cada uma dessas direções deve ser zero. Isso em termos de derivadas parciais significa que a derivada da função em relação a "x" em qualquer ponto, eu posso colocar aqui como (x₀, y₀), tem que ser igual a zero. E da mesma forma, ∂f/∂y ou a qualquer outra variável no ponto (x₀, y₀), vai ser igual a zero. Você pode ver isso no nosso gráfico. Deixe-me mudar a inclinação do plano aqui um pouco. Se você estiver caminhando na direção "y'' por exemplo, você não está aumentando o valor da função de forma alguma, essa direção é exatamente zero. Isso significa que a derivada parcial em relação a "y" é igual a zero Mas e em relação a "x", o que acontece? Se você está caminhando em direção a "x", claramente, a inclinação é negativa. Mas por quê? À medida que você dá passos positivos na direção ''x", a altura do seu plano tangente está diminuindo. Isso quer dizer que essa altura está diminuindo proporcionalmente ao quanto você anda no "x''. Mas claro, você pode utilizar isso para resolver um sistema e encontrar o ponto (x₀, y₀), mas eu vou falar mais a respeito disso nos próximos vídeos. Por ora, eu só quero te dar uma ideia intuitiva a respeito disso. E claro, essas duas coisas só são verdade quando a inclinação do plano tangente é zero. Satisfazer isso não necessariamente significa encontrar o máximo de uma função, esse é apenas um requisito que deve satisfazer. Porque olha só, se você passar um plano tangente por outros picos da função, como este e esse, ou estes pequenos aqui né, todos esses planos tangentes vão ter inclinação zero. Claro, os menores, as saliências são o que chamamos de máximos locais, e são relativos a um único ponto. Isso significa que este ponto é o maior. Qualquer ponto em sua vizinhança é menor do que ele. Ele não é, digamos assim, o maior máximo, ele é o maior em sua vizinhança, é como se fossem montanhas menores próximas ao Monte Everest. Existe uma outra circunstância onde você pode encontrar um plano tangente, e isso está nos pontos mínimos, correto? Se você tiver um mínimo global, o menor absoluto, você pode ter um mínimo absoluto que também é um mínimo local e pode ter outros mínimos locais nesses picos invertidos. Você também vai encontrar planos tangentes a esses pontos. E isso acontece quando você está minimizando uma função. Você também deve procurar isso aqui, ou seja, onde todas as derivadas parciais são zero. Mas isso não significa que o seu trabalho está completo. Você tem que fazer mais alguns testes para ter certeza que encontrou o máximo local ou o máximo global, o mínimo local ou o mínimo global. Inclusive, esses requisitos, você pode ver em uma forma mais curta. Você pode dizer que este triângulo aqui invertido, que é o que chamamos de vetor gradiente de uma função, é igual a ∂f em relação a todas as variáveis, igual ao vetor que tem zero em todas as suas componentes. Então, basicamente, você pode dizer que o gradiente de uma função "f" tem que ser igual ao vetor zero. E claro, algumas pessoas ainda colocam isso como o vetor zero, então, basicamente, você pode dizer que o gradiente de uma função tem que ser igual a zero. E aí fica mais fácil de escrever, né. Toda vez que você for resolver, você deve expandir encontrando isso aqui. Toda vez que você ver o gradiente de uma função igual a zero, isso vai te dar a ideia de plano tangente. O plano tangente tem uma inclinação igual a zero. Mas como eu disse, isso não é suficiente, porque você pode ter máximo ou mínimo nos outros picos. No cálculo multivariável também existe uma outra possibilidade, um lugar onde o plano tangente tem uma inclinação igual a zero, e não vai ser em um máximo ou um mínimo local, vai ser o que chamamos de ponto de sela, que é um novo conceito do cálculo multivariável. Mas claro, nós vamos ver isso com calma mais para frente. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!