Pontos de sela

RKA8JV - E aí, pessoal! Tudo bem? Nesta aula, nós vamos falar a respeito de pontos de sela. No último vídeo, nós falamos a respeito de máximos e mínimos em uma função de multivariáveis, e vimos isso graficamente. Nós descobrimos, também, alguns pontos onde a inclinação do plano tangente é igual a zero. E uma maneira de visualizar esse plano, que representa um valor "z" constante, ou seja, um valor de saída constante para a função, você pode movê-lo para cima e para baixo e você vai ver que se o plano cruzar o topo, não existem mais valores que fiquem acima desse ponto. Por isso, nós queremos que esse plano seja tangente a esse pico. Basicamente, nós temos que encontrar um plano que seja tangente a esses pontos. E claro, o maior deles é chamado de máximo global, mas existem outros que são chamados de máximos locais, o que significa que nesses pontos, não existem outros pontos em suas vizinhanças de modo que sejam maior que eles. No final da aula, eu cheguei a comentar que existe uma outra possibilidade do plano tangente ter inclinação igual a zero mas não tocar nesses máximos ou mínimos. Esse é um conceito que surge quando estamos estudando funções multivariáveis. É o que chamamos de ponto de sela. Bem, deixa eu colocar outro gráfico aqui. Este é o gráfico da função f(x,y) = x² - y². Vamos fazer o seguinte. Vamos colocar um plano tangente aqui na origem deste gráfico. Vai ser algo assim. Para entender o que significa esse plano passando pela origem, vamos calcular as derivadas parciais desta função. Bem, a derivada parcial de "f" em relação a "x" vai ser a mesma coisa que pegar a derivada desse x² considerando o ''y" como uma constante, vai ser 2x, enquanto a derivada de "f" em relação a "y" vai ser a mesma coisa que derivar esse -y² considerando o "x" como uma constante, e aí vamos ficar com -2y. E se esse plano está passando pela origem, significa que as coordenadas "x" e "y" dele são (0, 0). E o que isso vai significar? Se substituirmos nas derivadas parciais, 2 vezes zero vai dar zero e -2 vezes "y" também vai dar zero. E se as derivadas parciais são iguais a zero, significa que a inclinação deste plano tangente em qualquer direção é igual a zero. Uma maneira de ver isso é cortando o gráfico. Se nós o cortarmos com um plano que representa o valor de "x" constante, você vai ver que esta curva, aonde toca os dois planos, ela tem um máximo local na origem, ou seja, a reta tangente a esse ponto na direção "y" tem inclinação igual a zero. Agora, vamos imaginar cortá-lo em uma direção diferente. Em vez de cortarmos com o valor de "x" constante, vamos cortar com um valor de "y" constante. Se olharmos para a curva onde o valor de "y" constante corta o gráfico, vai ficar algo mais ou menos assim, como se fosse uma parábola. E novamente, se passarmos a reta tangente a este ponto que é a origem, parece que temos um mínimo local da curva, então, este plano não é um máximo local nem um mínimo local, mas ele tem uma inclinação igual a zero na origem. Em uma direção é que ele é máximo local, ou seja, é um máximo local quando você olha para a curva, mas na outra direção, se você cortar este plano de outra maneira, parece que temos um mínimo local. E se olharmos para essas equações, isso faz sentido, não é? Se você está se movimentando na direção "x", toda a função vai se parecer com um x² e algum constante. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola e que tem um mínimo local. Mas se você estiver caminhando na direção do "y", você tem que focar nesse -y². E como temos um menos aqui, a concavidade da parábola vai ser voltada para baixo, e quando isso acontece, nós temos um máximo local. É como se as direções (x, y) fossem simétricas em relação a este ponto, ou seja, o ponto onde você tem um plano tangente que passa por ele. E, com isso, vamos ter um máximo ou um mínimo local. Isso é algo exclusivo do cálculo multivariável, porque quando estamos falando de cálculo com uma única variável, por exemplo, se você tem gráfico de uma função aqui, se você tem uma reta com inclinação zero, você sabe que essa reta é tangente a este ponto, e intuitivamente você vai ter o máximo ou o mínimo local. Ou seja, necessariamente, se uma reta é tangente a um ponto, aquele ponto é máximo ou mínimo local. Mas isso não acontece com as funções de multivariáveis, isso porque nas funções de uma variável, você só tem uma entrada, enquanto nas funções multivariáveis, você tem pelo menos de duas. Esse ponto recebe um nome especial, é o que chamamos de ponto de sela. E realmente, esse é um nome que faz bastante sentido. Se você olhar para o gráfico da função, você vai ver que se parece com uma sela que colocamos no cavalo antes de montarmos. Então, o que vamos tentar fazer a partir de agora é tentar encontrar esse ponto de sela, que pode representar o lucro de uma empresa, o máximo, como nós vimos na aula passada, ou quem sabe uma função de custo em um aprendizado de máquina ou inteligência artificial. E claro, com o gráfico, nós conseguimos visualizar esse ponto. Mas vamos também aprender a como encontrá-lo algebricamente. Vamos fazer isso com que chamamos de segundo teste de derivada parcial. Mas nós vamos falar com mais calma nos próximos vídeos. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado e até a próxima, pessoal!