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Teste da segunda derivada parcial

Como determinar se o ponto crítico de uma função bivariável é um mínimo local, um máximo local, ou um ponto de sela. Versão original criada por Grant Sanderson.

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RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Na aula passada, nós vimos a função f(x,y) = x⁴ - 4x² + y² e analisamos o seu gráfico. Nós procuramos pontos onde o vetor gradiente era igual ao vetor zero, e isso significa que as derivadas parciais devem ser iguais a zero. E nós resolvemos isso e descobrimos 3 pontos diferentes. Esses pontos foram (0, 0), (√2, 0) e (-√2, 0). Esses pontos correspondem a um ponto de sela e dois mínimos locais. E claro, nós vimos a explicação do porquê ter esse ponto de sela. Basicamente, nós pegamos a derivada de segunda ordem em relação a "x", igualamos a zero e encontramos um valor negativo. Quando fizemos isso em relação a "y", encontramos um valor positivo. O valor negativo indicava uma concavidade para baixo, o que estava dizendo que era um ponto máximo, e esse positivo no "y" indica que é um mínimo. Eu disse que ainda precisávamos da derivada parcial de segunda ordem mista, ou seja, a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "x" em relação a "y". Para você ver que isso é verdade, eu vou colocar outra função aqui. Vamos ver outro exemplo. Deixe-me apagar tudo isso aqui, então, para começarmos esse exemplo. O gráfico que você está vendo, claramente tem um ponto de sela na origem. Este é o gráfico da função f(x,y) = x² + y² - 4xy. Primeiro, devemos analisar as derivadas parciais. Então, ∂f/∂x vai ser a derivada desta função considerando o "y" como uma constante, então, derivamos somente em relação a "x", e a derivada de x² é 2x e a derivada de y² vai ser zero, e se aplicarmos a regra do produto aqui considerando o "y" como uma constante, nós vamos ficar com -4y. E se derivarmos a função em relação a "y", o pensamento é o mesmo, devemos derivá-la considerando o "x" como uma constante, portanto, a derivada deste x² vai ser zero e a derivada de y² vai ser 2y - 4x, que é a derivada deste produto. E agora, devemos igualar essas derivadas parciais a zero. Aqui, igual a zero e aqui também igual a zero, com isso, vamos obter um plano tangente com inclinação zero na origem. Mas ainda precisamos das derivadas de segunda ordem, ou seja, ∂²f/∂x² vai ser igual a 2, isso porque nós vamos nesta expressão e derivamos em relação a "x", e aí, esta parte vai sumir e se derivarmos o 2x, vai ser igual a 2. ∂²f/∂y² também é igual a 2. Mas, por quê? Simples, nós vamos nesta expressão e derivamos em relação a "y", e aí, este -4x some e a derivada de 2y em relação a "y" é igual a 2. O que isso está indicando? Está indicando que tem uma concavidade positiva na direção "x" e uma concavidade positiva na direção "y", o que sugere que você tem uma parábola com concavidade voltada para cima e tem um mínimo local. Mas, quando olhamos para o gráfico, isso não é verdade, nós não temos um mínimo, temos um ponto de sela. Portanto, essas duas informações não são suficientes, ou seja, precisamos de mais informações. Na verdade, este termo aqui é positivo, e aí, as derivadas parciais vão ficar com estes termos positivos. Mas de qualquer maneira, as derivadas de segunda ordem não vão mudar, tá? Mas o que eu quero que você saiba é que este +4xy faz toda a diferença no gráfico, ele influencia se você tem um mínimo local ou um máximo local. Tá, e se ao invés de termos 4 aqui, eu colocar um "p", uma variável, que pode variar de zero até 4. E aí eu posso mexer no meu gráfico aqui e vou voltar esse "p" para o zero e ver como isso influencia o gráfico. E veja que isso parece refletir na direção "x". Neste gráfico, o ''p = 4", mas vamos variar um pouco. Deixe-me colocar o "p" aqui em zero para ver o que acontece. Quando fazemos isso, realmente você tem o que esperava, está refletindo na direção "x", é uma parábola na direção "y". Nessa parábola você tem um mínimo local. E você pode variar o "p" ainda mais, eu estou colocando aqui em cerca de 1,5, e você pode ver que ainda tem um mínimo local, ou seja, é uma parábola com concavidade voltada para cima em todas as direções. Mas tem um ponto crítico aqui. Existe algum valor de "p" que faz com que esse ponto mínimo meio que se transforme em ponto de sela, e isso depende inteiramente do coeficiente "P". Então, tem o ponto crítico e, a partir dele, esse ponto vai ser uma sela. Aqui eu estou vendo que o ponto que transforma esse mínimo em ponto de sela é o "p = 2". Deixe-me mostrar um teste aqui que vai nos dizer o porquê disso ser verdade. Eu já até falei dele nas aulas passadas, mas eu vou dar uma relembrada aqui. Esse teste é chamado de teste da segunda derivada parcial. Basicamente, esse teste diz que se você calculou o vetor gradiente de uma função no ponto (x₀, y₀) e isso deu zero, então, nós podemos escrever que a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "x" nesse ponto (x₀, y₀) vezes a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "y" nesse mesmo ponto (x₀, y₀) menos a derivada parcial em relação a "y" em relação a "x" no ponto (x₀, y₀)². E aí, se você calcular isso, você vai ter um valor que eu vou chamar de "H", e se esse "H'' for maior que zero, então, você tem um máximo ou um mínimo. Mas claro, você ainda não tem certeza qual é, e para descobrir isso, você olha para esta derivada de segunda ordem em relação a "x" e analisa a sua concavidade. Se isso der positivo, então, a parábola tem uma concavidade para cima, e aí, teríamos um mínimo local. Agora, se o "H" for menor do que zero, então, você tem um ponto de sela. Agora, se o "H" for igual a zero, não é suficiente para determinar, mas, na maioria dos casos, ou você encontra o "H > 0" ou "H < 0". Ok, então vamos olhar para esta nossa função. Lembrando que "p" é uma constante que varia de zero até 4. Então vamos analisar na origem. Nós já calculamos a derivada de segunda ordem em relação a "x" e em relação a "y'', e ambas deram igual a 2. Então, se realizarmos o teste, vamos ficar com 2 vezes 2 e subtraímos por esta derivada parcial mista ao quadrado. E nessa derivada mista, tanto faz eu derivar uma e depois derivar a outra, tá? Mas eu vou começar de derivando esta função aqui em relação a "y", e se fizermos isso, vamos obter esta constante aqui na frente do "y", ou seja, a constante "P", porque mudamos aqui, lembra? Se você quiser, você pode derivar em relação a "x" esta função agora com "P" e depois derivar em relação a "y", mas, com toda a certeza, vai ser igual a "P", então, -P². Agora, no caso em que "P = 0", se olharmos aqui no gráfico, o nosso "H" vai ser igual a 4, e se "H" é positivo, então, temos máximo ou mínimo. Em seguida, analisamos as derivadas de segunda ordem em relação a "x" ou em relação a "y", tanto faz. E como ambas são positivas, então, nós temos uma parábola com concavidade para cima, portanto, temos um mínimo local. Então, se "p = 4" nós vamos ficar com 2 vezes 2, que dá 4, menos 4² que dá 16, então 4 - 16 dá -12, então "H = -12", e quando o "H" é negativo, nós temos um ponto de sela. Isso explica que quando "P = 0", nós temos um mínimo local e depois temos um ponto de sela, e isso fica variando. Esse ponto de cruzamento vai ser quando essa expressão é igual a zero, ou seja, deixa de ser um ponto mínimo e vai para um ponto de sela, e isso acontece quando "P = 2", ou seja, este cruzamento aqui no gráfico é "P = 2'', é este ponto crítico. E quando "P = 2", esse teste não vai ser o suficiente para nos dizer nada, nós não conseguimos saber se é um ponto máximo mínimo ou um ponto de sela. Isso quer dizer que o gráfico é plano em uma direção e mínimo em outra. Enfim, esse teste é muito importante e muito utilizado. Na próxima aula, eu vou tentar mostrar intuitivamente de onde vem essa fórmula. Espero que esta aula tenha lhes ajudado. E até a próxima, pessoal!