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Exemplo do teste da segunda derivada parcial - Parte 1

Um exemplo resolvido de como encontrar pontos críticos classificadores de uma função bivariável. Versão original criada por Grant Sanderson.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Nesta aula, nós vamos fazer um exercício a respeito do teste de derivada de segunda ordem. Encontre e classifique todos os pontos críticos desta função aqui. Ou seja, uma função multivariável. E eu sugiro que você pause o vídeo e tente resolver sozinho. A ideia de ponto crítico, basicamente, significa dizer que em qualquer ponto da função o gradiente é igual a zero, ou seja, você está procurando algum tipo de entrada (x, y) que o resultado dê zero. Nós já vimos nos vídeos passados que quando usamos isso, nós esperamos maximizar ou minimizar uma função. Nós também queremos classificar esses pontos. E é isso que o teste da segunda derivada faz. Ou seja, depois de você me igualar o gradiente a zero, você consegue determinar se esse ponto é um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela. E claro, quando eu estou colocando o zero aqui, eu estou dizendo que esse gradiente é igual ao vetor zero. Para achar esse vetor, nós precisamos das derivadas parciais. Primeiro, vamos achar a derivada parcial de "f" em relação a "x", e derivando esta parte, nós utilizamos a regra do produto, e aí, esse 2 vem para frente e vamos ficar com 6xy. Isso porque estamos derivando em relação a "x", aí o "y" se torna uma constante. E por isso, esse y³ derivando em relação a "x" também vai ser a zero e esse aqui também, portanto, devemos derivar somente esse -3x², que é a mesma coisa que -6x. Se você não lembra de derivadas parciais, eu sugiro que você dê uma revisada nesse conteúdo. Também precisamos da derivada parcial de "f" em relação a "y". Isso significa que vamos tratar o "x" como uma constante, então se utilizarmos a regra do produto aqui, esse 3x² vai ser uma constante, e derivando "y" vamos ficar com 1, portanto, ficamos somente com 3x². Agora, derivando -y³, vamos ficar com -3y², isso utilizando a regra da potência. Esse -3x² nós consideramos como constante, portanto a derivada dele vai ser zero, e a derivada de 3y² em relação a "y" é igual a 6y. De novo, utilizando a regra da potência para derivadas. E para encontrar os pontos críticos, nós devemos igualar essas derivadas parciais a zero. Então, isso aqui tem que ser igual a zero, e eu posso colocar o 6x em evidência, e ele vai multiplicar (y -1), que é igual a zero. E se duas coisas estão se multiplicando e o resultado está dando zero, uma delas tem que ser zero, ou seja, ou "6x = 0", o que significa que o "x" é igual a zero, ou "y - 1 = 0", o que significa que "y = 1". Igualando a outra a derivada parcial a zero, não parece tão fácil assim de resolvê-la, né? O que podemos fazer é substituir uma dessas soluções aqui nessa igualdade. Eu posso, por exemplo, colocar "x = 0", e aí eu vou ficar com 3 vezes 0², ou seja, esta parte vai sumir, restando somente "-3y² - 6y = 0". Então, "-3y² - 6y = 0". Eu posso fatorar essa igualdade colocando o -3y em evidência, que multiplica "y + 2 = 0". E de novo, se duas coisas estão se multiplicando e o resultado dá zero, uma delas tem que ser zero, ou seja, ou "-3y = 0". o que significa que "y = 0", ou "y + 2 = 0", o que significa que "y = -2". E claro, tem outra possibilidade também. Em vez de utilizarmos "x = 0", podemos utilizar ''y = 1". Então, colocando "y = 1", e aí vamos ficar com 3x², e substituindo um, vamos ficar com -3 vezes 1² menos 6 vezes 1. Então, colocando aqui, -3(1)² - 6(1), e que podemos ajeitar, ficando com 3x² - 3(1)², vai dar -3, -6(1) vai -6, então, vamos ficar com -9 aqui. Ainda podemos fatorar colocando o 3 em evidência, que multiplica (x² - 3). E de novo, se duas coisas estão se multiplicando e o resultado dá zero, uma delas tem que ser zero. O 3 logicamente não é zero. Portanto, para a multiplicação ser igual a zero, "x² - 3" tem que ser igual a zero, o que significa que "x" tem que ser igual a ±√3. Com isso, encontramos 4 soluções, o que vai nos dar 4 pontos críticos. A primeira delas é considerando "x = 0". E aí vamos ter dois pontos com a coordenada "x = 0", ou seja, quando "x" é igual a zero, o "y" pode ser igual a zero, que vai nos dar esse primeiro ponto, ou o "y" pode ser igual a -2, o que vai nos dar esse segundo ponto. E agora, temos mais pontos, porque quando "y = 1", "x" pode valer +√3 ou -√3. Então, o terceiro ponto tem a coordenada a "y = 1" e o quarto ponto também. E nesse caso, "x" pode ser igual a ±√3, ou seja, √3 positiva ou √3 negativa. Esses são o que chamamos de pontos críticos, o que significa que se substituirmos cada um desses pontos nas derivadas parciais, o resultado vai dar zero. Eu espero que esta aula tenha lhes ajudado, e até a próxima, pessoal!