Exemplo do teste da segunda derivada parcial - Parte 2

RKA8JV - E aí, pessoal. Tudo bem? Na aula passada, nós recebemos esta função e fomos solicitados a encontrar e classificar todos os pontos críticos. E para isso, nós igualamos o gradiente a zero e encontramos 4 pontos críticos. Agora, nós devemos classificá-los. Para isso, nós utilizamos o segundo teste de derivada parcial, e nós vamos precisar das derivadas parciais de primeira ordem. Eu já até as coloquei aqui embaixo, ou seja, vamos precisar da derivada de segunda ordem de "f" em relação a "x" e isso é a mesma coisa que derivar esta função em relação a "x". E de novo, aplicando a regra do produto e considerando o "y" como uma constante, se derivarmos isso aqui, vamos ficar com 6y. E a derivada desse segundo termo em relação a "x" é -6. Para calcular a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "y", nós precisamos derivar esta função em relação a "y" e isso significa que vamos considerar o "x" como uma constante. Isso significa que este termo, nós consideramos como constante e a derivada de uma constante é zero, e a derivada de -3y² é a mesma coisa que -6y, e a derivada de -6y = -6. Ainda precisamos da derivada parcial mista, ou seja, a derivada de "f" em relação a "x" em relação a "y". Lembrando que não importa a ordem que escrevermos isso aqui, o resultado vai ser o mesmo. Mas dessa forma, nós vamos na derivada parcial de "f" em relação a "x" e derivamos em relação a "y". A derivada do primeiro termo vai ser 6x, e como estamos derivando em relação a "y", esse -6x é tido como uma constante, e a derivada de uma constante é zero, ou seja, ficamos somente com 6x. E agora, vamos utilizar cada um desses pontos no teste de segunda derivada parcial. Então deixa eu apagar isto aqui para ter espaço. Esse teste consiste em pegar a derivada de segunda ordem em relação a "x" e multiplicar pela derivada de segunda ordem em relação a "y" e subtraímos pela derivada parcial mista ao quadrado. Ok, vamos fazer isso considerando os pontos. O primeiro deles vai ser o ponto (0, 0). E colocando (0, 0) nesta expressão, vamos ficar com o 6 vezes zero, que vai dar zero, menos 6, que vai dar -6. Então, (-6) que multiplica a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "y" no ponto (0, 0), então -6 vezes zero vai dar zero, menos 6 também vai dar -6, e subtraímos isso substituindo o (0, 0) na derivada parcial ao quadrado. E como aqui só tem um 6x, vamos ficar com 6 vezes o zero, que vai dar a zero, então -0². E se resolvermos isso, vamos ficar com -6 vezes -6, que é igual a 36. Já vamos analisar isso aqui. Primeiro vamos substituir os outros pontos. Então o ponto (0, -2), e substituindo o ponto (0, -2) na derivada parcial de "f" em relação a "x", vamos ficar com "6 vezes -2 menos 6", isso vai ser, 6 vezes -2, vai dar -12, menos 6, é igual a -18, que multiplica isso aqui no ponto (0, -2), então -6 que multiplica -2 menos 6, e -6 vezes -2 vai dar 12, menos 6 vai ser igual a 6, então, vezes 6. E como "x = 0", e aqui temos 6x, vamos subtrair por 0², e se resolvermos isso, vamos ficar com -18 vezes 6, que é igual a -108. Agora, no ponto (√3, 1), se substituirmos aqui, vamos ficar com o zero. Substituindo na derivada de segunda ordem de "f" em relação a "y", vamos ficar com -12, e subtraímos isso substituindo √3 aqui neste 6x, e aí vamos ficar com 6√3, ou seja, subtraímos por (6√3)². E aí, essa parte vai dar zero, e aí vamos ficar somente com menos esta parte, e devemos elevar os dois termos ao quadrado, ficando com o -36 vezes 3 que é igual a -108. Por fim, substituindo o ponto (-√3, 1) nessas derivadas parciais, nós vamos ficar com a derivada de segunda ordem de "f" em relação a "x" no ponto vai ser igual a zero. A derivada de segunda ordem de "f" em relação a "y" vai ser igual a -12, e subtraímos isso pela derivada parcial mista ao quadrado no ponto (-√3, 1), que é a mesma coisa que (-6√3)². Isso também vai ser igual a -108. E o que esse teste de segunda derivada parcial nos diz? Se esse teste for maior do que zero, significa que nós temos máximo ou o mínimo, e se for menor do zero, então, temos um ponto de sela. O único caso que dá resultado maior que zero é este primeiro. Mas temos que analisar se o ponto (0, 0) é máximo ou mínimo. Note que a derivada parcial em relação a "x" ou em relação a "y" é negativa, o que indica uma espécie de concavidade voltada para baixo, então, isso significa que temos um ponto máximo. Portanto, o (0, 0) corresponde a um máximo local. E todos esses outros deram resultados negativos, o que significa que eles são pontos de sela. Todos esses são pontos de sela. Então, qual é a resposta da nossa pergunta? Esses aqui são os pontos críticos, sendo que este aqui é o ponto máximo. Todos esses três são pontos de sela, e conseguimos responder isto sem olhar o gráfico da função. Espero que esta aula tenha lhes ajudado e até a próxima, pessoal!